46、《线性代数在机器学习中的应用》

《线性代数在机器学习中的应用》

1. 奇异值分解（SVD）

在相关理论中，绿色的椭圆是定义域内某些蓝色单位向量的映射图像。对应的右奇异向量构成矩阵 V 的列。在高维情况下，左奇异向量会按照从大到小的顺序与椭球体的主轴对齐。如果线性变换存在压缩情况，图像无法覆盖整个 Ɍq，这会导致奇异值为零。在这种情况下，奇异向量可能不是唯一的，但奇异值是唯一确定的。

SVD 分解时，矩阵 M 可分解为三个部分，作为一个线性变换作用于 Ɍp 中的向量并产生 Ɍq 中的向量。具体步骤如下：
1. 先将向量左乘 VT。
2. 接着左乘 X。
3. 最后左乘 U。

这个过程可以通过图中的替代路径表示，从左上角的图向下到左下角的图，再到右下角的图，最后到右上角的图。

2. SVD 在数据压缩中的应用

在当今科技世界，大量数字数据的存储和高效传输是一个重大问题。SVD 在压缩数字数据方面发挥着重要作用，它可以减少存储空间并加快电子传输速度。压缩视觉图像的思路是将其表示为一个数值矩阵，在需要时可以从该矩阵中恢复图像。

如果矩阵 M 的大小为 m×n，它需要 mn 个单独的元素。计算简化 SVD 的替代方法如下：
M = s₁u₁v₁ᵀ + s₂u₂v₂ᵀ + … + sₖuₖvₖᵀ
其中 s₁ ≥ s₂ ≥ … ≥ sₖ ，存储 s、u 和 v。当需要图像时，可以根据上述线性方程进行重建。由于 k 是矩阵 M 的秩，uⱼ 有 m 个元素，vⱼ 有 n 个元素，因此只需要 km + kn + k = k(m + n + 1) 的存储空间。

如果奇异值 sᵣ₊₁, …, sₖ 足够小，去掉相应的线性方程可以得到一个可接受的秩 r 近似：
M ≈ s₁u₁v₁ᵀ + s₂u₂v₂ᵀ + … + sᵣuᵣvᵣᵀ
此时，压缩后的图像只需要 rm + rn + r = r(m + n + 1) 的存储空间，而不是 mn。

下面通过一个例子比较不同秩的压缩结果：
| 图像类型 | 像素 | 原始存储空间 | 压缩后秩 r | 压缩后存储空间 | 节省比例 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 原始图像 | 600 x 399 | 239400 | - | - | - |
| 压缩图像 | 600 x 399 | - | 2 | 2000 | 约 99% |
| 压缩图像 | 600 x 399 | - | 100 | 100000 | 约 63% |

从这个表格可以看出，通过 SVD 进行数据压缩可以在不损失太多图像质量的情况下，大幅减少存储空间。

3. 降维

处理具有许多特征的数据建模并不容易，包含最相关特征的数据构建的模型优于包含无关特征的数据模型。但很难确定数据中的哪些特征是相关的，哪些是不相关的。自动减少数据集列数的方法称为降维，它是通过获取一组主变量来减少所考虑的随机变量数量的过程。降维主要分为两个部分：
- 特征选择 ：找到原始变量或特征的一个子集，以获得一个可用于建模问题的较小子集。它包括三种方法：
- 过滤法 ：基于某些统计指标对特征进行筛选。
- 包装法 ：使用机器学习算法评估不同特征子集的性能。
- 嵌入法 ：在模型训练过程中自动选择特征。
- 特征提取 ：将高维空间中的数据降低到低维空间。

常用的降维方法包括主成分分析（PCA）和核主成分分析（KPCA），降维可以是线性的也可以是非线性的，具体取决于所使用的方法。下面重点介绍主成分分析。

4. 主成分分析（PCA）

主成分分析是最流行的无监督降维技术，用于机器学习中减少数据维度，以便对高维数据进行可视化和训练模型。PCA 的基础是线性代数中的矩阵分解方法。

可以通过想象一组分散在三维空间中的绿色和蓝色数据点来理解 PCA。这些点可以以各种方式投影到二维表面，如 XY 平面、YZ 平面、ZX 平面，每个投影中的点分布会略有不同。PCA 的主要作用是确定哪些投影能实现最大的分离（即数据的最大方差）。

PCA 的工作步骤如下：
1. 形成数据的协方差矩阵 ：协方差矩阵反映了数据特征之间的相关性。
2. 计算该矩阵的特征向量 ：特征向量表示数据变化的方向。
3. 找到最大方差的方向并将数据投影到这些方向上以降低维度 ：协方差矩阵对应最大特征值的主特征向量用于重建原始数据的大部分方差。

通过 PCA 可以将数据投影到方差最大的方向上，从而实现数据的降维，同时保留数据的主要信息。

5. 线性回归

线性回归通常与最小二乘目标函数相关联，也被称为最小二乘回归。最小二乘回归的引入是为了从优化的角度解决方程组问题，它还用于设计目标变量对特征变量的依赖关系。

假设我们有一组数据 (x₁, y₁), …, (xₙ, yₙ)，这被称为训练数据。每个 xᵢ 是一个测量向量，xᵢ₁ 是输入变量 X₁ 的一个实例，xᵢ₂ 是输入变量 X₂ 的一个实例，以此类推。X₁, X₂, …, Xₚ 被称为特征或预测变量，y₁, y₂, …, yₙ 是输出变量 Y 的实例，称为响应。

在线性回归中，我们假设响应以线性方式依赖于输入变量：
y = f(X) + ε
其中 f(X) = β₀ + β₁X₁ + … + βₚXₚ ，ε 称为误差项，β₀, β₁, …, βₚ 称为参数。

参数的值是未知的，但可以使用训练数据来近似这些值。对于训练数据中的每一对 (xᵢ, yᵢ)，预测值 f(xᵢ) 与实际值 yᵢ 的差值为 yᵢ - f(xᵢ) 。将这个差值平方并对 i 从 1 到 N 求和：
RSS(β) = ∑(yᵢ - f(xᵢ))² （i 从 1 到 N）
这被称为残差平方和，记为 RSS(β) ，其中 β = [β₀, β₁, …, βₚ]ᵀ 。当残差平方和尽可能小时，意味着预测值 f(xᵢ) 尽可能接近实际值 yᵢ ，这样可以得到一个最适合给定训练数据的输入变量的线性函数。在只有一个输入变量的情况下，得到的是最佳拟合直线；在有两个输入变量的情况下，得到的是最佳拟合平面；依此类推，对于更高维度也是如此。

6. 最小二乘法

通过最小化 RSS(β) ，我们可以估计参数 β₀, β₁, …, βₚ 的值，这种方法称为最小二乘法。

设 X 是一个 N 行 (p + 1) 列的矩阵，y 是一个 N 维向量：
X = [
[1, x₁₁, x₁₂, …, x₁ₚ],
[1, x₂₁, x₂₂, …, x₂ₚ],
…
[1, xₙ₁, xₙ₂, …, xₙₚ]
]
y = [y₁, y₂, …, yₙ]ᵀ

则 RSS(β) = (y - Xβ)ᵀ(y - Xβ)

考虑 RSS(β) 的偏导数向量：
∇RSS(β) = 2Xᵀ(y - Xβ)

如果取 RSS(β) 的二阶导数：
∂²RSS(β) / ∂βⱼ∂βₖ = 2∑(xᵢⱼxᵢₖ) （i 从 1 到 N）
RSS(β) 的二阶导数矩阵是 2XᵀX ，称为海森矩阵。

根据二阶导数测试，如果 RSS(β) 在一个临界点的海森矩阵是正定的，那么 RSS(β) 在该点有局部最小值。令导数向量为 0，得到：
XᵀXβ = Xᵀy
如果 XᵀX 是正定的，其特征值都是正的，0 不是其特征值，因此 XᵀX 是可逆的。可以求解上述方程得到：
β̂ = (XᵀX)⁻¹Xᵀy

这就是最小二乘法求解线性回归参数的结果。

7. 线性代数解决最小二乘问题

我们也可以使用线性代数来解决最小二乘问题。设 X 和 y 如上述训练数据所示，我们希望找到一个向量 β ，使得 Xβ 接近 y ，即最小化 Xβ 与 y 之间的距离。最小化这个距离的向量 β 称为 y = Xβ 的最小二乘解。

X 是一个 N 行 (p + 1) 列的矩阵，我们希望找到一个 β̂ 使得 Xβ̂ 最接近 y 。注意到 Xβ̂ 是 X 列向量的线性组合，所以 Xβ̂ 位于 X 列向量所张成的子空间 col(X) 中，我们要找的是 col(X) 中最接近 y 的向量。y 在子空间 col(X) 上的投影就是这个向量，即 y = proj_col(X)(y) = Xβ̂ 。

考虑 y - Xβ̂ ，由于 N 可以分解为两个子空间 col(X) 和 col(X)⁺ （col(X)⁺ 是 col(X) 的正交补空间），任何向量都可以唯一地表示为 z + w ，其中 z ∈ col(X) ，w ∈ col(X)⁺ 。因为 y ∈ N ，且 y = Xβ̂ + (y - Xβ̂) ，Xβ̂ ∈ col(X) ，所以 y - Xβ̂ 必须位于 col(X)⁺ 中，即 y - Xβ̂ 与 X 的列向量正交。

因此有：
Xᵀ(y - Xβ̂) = 0
即 XᵀXβ̂ = Xᵀy
这与最小二乘法得到的结果一致。如果 XᵀX 是正定的，可以求解得到 β̂ = (XᵀX)⁻¹Xᵀy 。

8. 线性代数在机器学习中的作用

随着对技术的深入了解，机器学习、机器人技术、数据科学和人工智能等领域有一些共同的术语，如支持向量机（SVM）、拉格朗日乘数、核 PCA 和岭回归等。对于学习机器学习或数据科学的人来说，了解线性代数是非常重要的，需要知道如何在解决机器学习问题或处理大量数据时应用线性代数知识。

9. 线性代数在机器学习组件中的应用

• 向量和矩阵 ：是线性代数中的关键数据结构。在机器学习中，我们在数据集上拟合模型，数据集是一个类似表格的数字集合，每行代表一个观测值，每列代表观测值的一个特征。当将数据拆分为输入和输出以拟合监督机器学习模型时，会得到一个矩阵 (X) 和一个向量 (Y) 。每行长度相同，即列数相同，因此可以说数据是向量化的，行可以一次一个或批量提供给模型，模型可以预先配置为期望固定宽度的行。
• 特征值和特征向量 ：在机器学习中非常重要，用于最小化数据噪声。特征向量是仅通过标量因子改变的向量，其方向不会改变。特征值是特征向量缩放的幅度，当对特征向量应用线性变换时，其方向不会改变。特征值和特征向量可以用于捕捉矩阵中存储的大量信息，在面部识别等领域也有应用。此外，照片也是线性代数中矩阵的一个实例，对图像的剪切、裁剪、缩放等操作都可以用线性代数的符号和运算来解释。
• 线性回归模型 ：拟合给定数据的方式如下：
  1. 从某个任意的预测函数开始。
  2. 将其应用于数据的独立特征以预测输出。
  3. 计算预测输出与期望输出之间的差异，并使用梯度下降等方法优化预测函数。
• 损失函数 ：是线性代数中向量范数的应用，用于计算预测输出与期望输出的差异。向量的范数简单定义为其大小，例如向量 v = (v₁, v₂, …, vₙ) 的 L1 范数为 ||v||₁ = |v₁| + |v₂| + … + |vₙ| ，L2 范数为 ||v||₂ = √(v₁² + v₂² + … + vₙ²) 。预测值存储在向量 A 中，期望值存储在向量 B 中，向量 A - B 的范数就是预测的总损失。
• 正则化 ：是范数的另一个应用，用于防止模型过拟合。正则化是修改损失函数以惩罚学习过程中特定权重值的过程，为了最小化成本函数，需要使用上述的 L1 或 L2 范数来最小化权重向量的范数。

10. 线性代数对机器学习算法的提升

如今，机器学习算法已成为各个行业不可或缺的一部分，线性代数有助于更深入地理解机器学习项目，为处理图像、音频、视频和边缘检测等提供特殊的图形解释。线性代数可用于构建更好的监督和无监督机器学习算法。

机器学习算法中的分类器会根据类别对给定数据集的一部分进行训练，并去除已训练数据中的错误。在这个阶段，线性代数可以帮助处理复杂和大量的数据集，它使用矩阵分解技术（如 Q - R 和 L - U 分解）来处理不同项目的大数据。矩阵中的长度平方采样、奇异值分解和低秩近似等技术在数据处理中被广泛使用。

一些监督学习算法，如逻辑回归、线性回归、决策树和支持向量机（SVM），可以借助线性代数从头创建。SVD 通常用于主成分分析（PCA），而 PCA 又广泛用于特征提取和了解特征之间关系对结果的重要性。PCA 在计算机视觉和图像压缩中广泛应用，通过减少存储空间和计算时间来提高效率。

在 PCA 中，使用线性代数中的转置和矩阵乘法概念来计算包含数值特征的数据矩阵的协方差矩阵。在主成分分析中，找到数据中变化最大的方向，即协方差矩阵对应最大特征值的特征向量，并将数据投影到这些方向上，这些特征向量被称为主成分。

支持向量机是线性代数中向量空间概念的应用，它是一种判别式分类器，通过找到决策面来工作。在这个算法中，每个数据项被绘制为 n 维空间中的一个点，每个特征的值作为坐标，分类的目的是找到一个超平面来很好地区分两个类别。超平面是向量空间的一个子空间，其维度小于相应的向量空间。SVM 中使用的核变换依赖于线性代数中从一个空间到另一个空间的变换思想。

在日常生活中，我们在不知不觉中使用着机器学习，例如：
1. 交通预测 ：GPS 和在线交通网络（如 UBER、OLA）在整个服务周期中，机器学习发挥着重要作用。
2. 搜索引擎 ：使用机器学习来提高搜索结果。
3. 社交平台 ：Facebook 上的自动好友标记建议是机器学习的常见应用。
4. 虚拟个人助理 ：如 Siri、Alexa 等，机器学习是其重要组成部分。
5. 产品推荐 ：Google 跟踪我们的搜索历史并根据搜索历史推荐广告。

综上所述，线性代数在机器学习中扮演着至关重要的角色，从数据处理到模型构建，再到实际应用，都离不开线性代数的支持。通过深入理解线性代数的原理和方法，可以更好地应用机器学习技术，解决各种实际问题。

《线性代数在机器学习中的应用》

11. 线性代数关键概念总结

为了更好地理解线性代数在机器学习中的应用，下面对一些关键概念进行总结：
| 概念 | 描述 | 应用场景 |
| ---- | ---- | ---- |
| 奇异值分解（SVD） | 将矩阵分解为三个部分，用于数据压缩和降维 | 图像压缩、主成分分析 |
| 主成分分析（PCA） | 无监督降维技术，基于矩阵分解 | 数据可视化、特征提取 |
| 线性回归 | 与最小二乘目标函数相关，用于建立变量间的线性关系 | 预测分析 |
| 最小二乘法 | 通过最小化残差平方和估计参数 | 线性回归参数求解 |
| 特征值和特征向量 | 用于最小化数据噪声，捕捉矩阵信息 | 面部识别、数据降维 |
| 支持向量机（SVM） | 基于向量空间概念的判别式分类器 | 分类问题 |

12. 线性代数应用流程梳理

下面通过 mermaid 格式流程图来梳理线性代数在机器学习中的常见应用流程：

graph LR
    A[数据准备] --> B[特征工程]
    B --> C{选择方法}
    C -->|SVD| D[数据压缩]
    C -->|PCA| E[降维]
    C -->|线性回归| F[建立模型]
    C -->|SVM| G[分类]
    D --> H[存储与传输]
    E --> I[数据可视化/训练模型]
    F --> J[预测分析]
    G --> K[类别判断]

这个流程图展示了从数据准备开始，经过特征工程，根据不同需求选择合适的线性代数方法，最终实现数据压缩、降维、建模、分类等应用的过程。

13. 不同线性代数方法对比

为了更清晰地了解不同线性代数方法的特点和适用场景，下面进行对比：
| 方法 | 优点 | 缺点 | 适用场景 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| SVD | 可有效压缩数据，减少存储空间 | 计算复杂度较高 | 大规模数据存储与传输 |
| PCA | 能保留数据主要信息，实现降维 | 可能丢失部分细节信息 | 高维数据可视化和特征提取 |
| 线性回归 | 模型简单易懂，可解释性强 | 对非线性关系处理能力有限 | 线性关系建模和预测 |
| SVM | 分类效果好，适用于高维数据 | 训练时间长，参数选择复杂 | 分类问题 |

14. 线性代数在机器学习中的实践步骤

在实际应用中，使用线性代数解决机器学习问题通常遵循以下步骤：
1. 数据收集与预处理
- 收集相关数据，并进行清洗，去除缺失值、异常值等。
- 对数据进行标准化或归一化处理，使数据具有可比性。
2. 选择合适的线性代数方法
- 根据问题的性质和数据特点，选择如 SVD、PCA、线性回归、SVM 等方法。
- 例如，如果是处理大规模图像数据，可考虑 SVD 进行压缩；如果是高维数据可视化，可选择 PCA。
3. 模型训练与参数调整
- 使用训练数据对模型进行训练，估计模型参数。
- 通过交叉验证等方法调整模型参数，提高模型性能。
4. 模型评估与优化
- 使用测试数据评估模型的性能，如准确率、召回率、均方误差等。
- 根据评估结果对模型进行优化，如调整方法或参数。
5. 应用与部署
- 将训练好的模型应用到实际场景中，进行预测或分类。
- 定期对模型进行监控和更新，以适应数据的变化。

15. 线性代数与机器学习未来趋势

随着科技的不断发展，线性代数在机器学习中的应用也将呈现出一些新的趋势：
- 与深度学习的融合 ：深度学习模型通常处理大规模高维数据，线性代数的矩阵运算和特征分解等方法将在深度学习的优化和加速中发挥更重要的作用。例如，在卷积神经网络（CNN）中，矩阵乘法是核心运算之一，通过优化线性代数算法可以提高 CNN 的训练和推理速度。
- 处理复杂数据类型 ：除了传统的数值数据，未来机器学习将更多地处理文本、图像、音频、视频等复杂数据类型。线性代数将用于这些数据的特征提取和表示，帮助模型更好地理解和处理复杂信息。
- 实时数据分析 ：在实时数据分析场景中，如金融交易、物联网监测等，需要快速处理和分析大量数据。线性代数的高效算法将为实时数据分析提供支持，实现快速决策和响应。

16. 总结与建议

线性代数作为机器学习的重要基础，贯穿了从数据处理到模型构建和应用的各个环节。通过掌握线性代数的关键概念和方法，我们可以更好地理解和应用机器学习技术，解决实际问题。

以下是一些学习和应用线性代数的建议：
- 加强理论学习 ：深入理解线性代数的基本概念，如矩阵运算、特征值和特征向量、奇异值分解等，为实际应用打下坚实的基础。
- 实践项目锻炼 ：通过参与实际的机器学习项目，将线性代数知识应用到具体问题中，提高解决问题的能力。
- 关注前沿研究 ：了解线性代数在机器学习领域的最新研究成果和应用趋势，不断更新知识体系。
- 工具和库的使用 ：熟练掌握 Python 中的 NumPy、SciPy 等线性代数库，提高编程效率和代码质量。

总之，线性代数与机器学习的结合为我们解决各种复杂问题提供了强大的工具。通过不断学习和实践，我们可以充分发挥线性代数的优势，推动机器学习技术的发展和应用。