切线空间（Tangent Space）

1. 线性变换

在掌握切线空间之前我们先来简单了解线性变换与向量空间、矩阵的关系。
什么是线性变换？
简单来说，线性变换就是一种映射关系，我们来看看线性代数对线性方程组的描述——线性方程组是由一个或者几个包含相同变量 $x_1,x_2,x_3,...,x_n$ 的线性方程组成的，如：

$$a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n = b_1. \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n = b_2. \\ ...\tag{1}$$
假设我们有 $m$ （本文假设 $m=n$） 个方程组，以矩阵形式表达该方程组如下：
$$Ax = b.\tag{2}$$
$A$ 是一个 $m * n$ 的方块矩阵( $m=n$)， $x = (x_1, x_2, ...,x_n)$ 是一个 $n$ 维向量， b=(b1,b2,...,bn) $\mathrm{b\; </}$