27、简单多边形中的射线查询及路径问题解析

简单多边形中的射线查询及路径问题解析

1. 引言

在计算几何领域，多边形内的路径查询和射线查询是重要的研究方向。本文将深入探讨简单多边形中的射线查询算法，以及相关的最短路径和最小链接路径查询问题。

2. 矩形多边形的路径查询

• 矩形多边形定义 ：若多边形 $P$ 每个顶点的内角为 $90^{\circ}$ 或 $270^{\circ}$，则称 $P$ 为矩形多边形。
• 矩形最短路径查询 ：在简单矩形多边形 $P$ 内，求两点 $s$ 和 $t$ 之间的矩形最短路径 $RSP(s, t)$。de Berg 的查询算法可在 $O(\log n + k)$ 查询时间内报告该路径，其中 $k$ 是 $RSP(s, t)$ 中的边数，预处理步骤需 $O(n \log n)$ 时间和 $O(n \log n)$ 空间。后来，Lingas 等人和 Schuierer 将预处理成本降低到 $O(n)$，同时保持查询时间不变。若 $s$ 和 $t$ 是 $P$ 的顶点，查询时间变为 $O(1 + k)$。
• 矩形链接路径查询 ：使用 de Berg、Lingas 等人和 Schuierer 的查询算法，可实现相同的查询时间和预处理成本。
• 带矩形孔的多边形路径查询 ：Atallah 和 Chen、Chen 等人以及 ElGindy 和 Mitra 研究了带矩形孔的多边形 $P$ 中的最短路径查询问题；Das 和 Narasimhan 以及 de Rezende 等人研