28、多边形中查询点的可见多边形查询算法解析

多边形中查询点的可见多边形查询算法解析

在计算几何领域，查询多边形内某点的可见多边形是一个重要的问题。本文将详细介绍两种不同情况下的查询算法，分别适用于无洞多边形和有洞多边形。

1. 无洞多边形的可见多边形查询算法

对于无洞的简单多边形，我们可以使用Bose等人提出的算法来查询查询点 $q$ 的可见多边形 $V(q)$。该算法的查询时间复杂度为 $O(\log n + k)$，其中 $k$ 是 $V(q)$ 的顶点数。不过，它需要 $O(n^3 \log n)$ 的预处理时间和 $O(n^3)$ 的空间。

1.1 算法步骤

• 步骤1：计算顶点的可见多边形 ：使用Lee的算法计算多边形 $P$ 中每个顶点 $v_j$ 的可见多边形 $V(v_j)$，并将所有构造边组成集合 $W$。
• 步骤2：构建平面细分 ：使用Edelsbrunner的算法，根据集合 $W$ 中的构造边计算平面细分 $C$。
• 步骤3：构建定位数据结构 ：使用Kirkpatrick的算法，为平面细分 $C$ 构建用于定位查询点的的数据结构。
• 步骤4：计算可见多边形 ：对于平面细分 $C$ 中的每个可见单元 $c_i$，选取一个点 $q_i$，并使用Lee的算法计算 $V(q_i)$。
• 步骤5：查询处理 ：
  • 步骤5a ：定位包含查询点