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简单多边形中的射线射击查询及路径查询算法解析
1. 引言
在计算几何领域，多边形内的路径查询和射线射击查询是重要的研究课题。本文将深入探讨简单多边形中的射线射击查询算法，以及矩形多边形中的最短路径和最小链接路径查询问题。
2. 矩形多边形中的路径查询
- 矩形多边形定义 ：若多边形 $P$ 的每个顶点的内角为 $90^{\circ}$ 或 $270^{\circ}$，则称 $P$ 为矩形多边形。
-
矩形最短路径查询
：
- de Berg 算法 ：对于简单矩形多边形 $P$ 内两点 $s$ 和 $t$ 之间的矩形最短路径 $RSP(s, t)$，de Berg 的查询算法可在 $O(\log n + k)$ 查询时间内报告该路径，其中 $k$ 是 $RSP(s, t)$ 中的边数。预处理步骤需 $O(n \log n)$ 时间和 $O(n \log n)$ 空间。
- Lingas 等人和 Schuierer 算法 ：他们将预处理成本降低到 $O(n)$，同时保持相同的查询时间。若 $s$ 和 $t$ 都是 $P$ 的顶点，查询时间变为 $O(1 + k)$。该方法计算的矩形路径在 $L_1$ 和矩形链接度量下都是最优的。
- 矩形链接路径查询 ：使用 de Berg、Lingas 等人和 Schuierer 的查询算法，可实现相同的查询时间和预处理成本。
- 带矩形孔的多边形查询 ：Atallah 和 Chen、Chen 等人以及 ElGindy 和 Mitra 研究了带矩形孔的多边形 $P$ 中的最短路径查询问题；Das 和 Narasimhan 以及 de Rezende 等人研究了相应的矩形链接路径查询问题。
3. 简单多边形中的射线射击查询
- 问题定义 ：射线射击问题是定位给定查询射线 $\overrightarrow{q}$ 与多边形 $P$ 的边界 $bd(P)$ 的交点 $q’$，使得 $q’$ 从 $q$ 可见。
- Chazelle 等人的算法 ：该算法通过将 $P$ 划分为测地三角形，可在 $O(\log^2 n)$ 查询时间内回答射线射击查询，使用加权平衡二叉树和分数级联将查询时间改进到最优的 $O(\log n)$。预处理步骤需要 $O(n)$ 时间和 $O(n)$ 空间。
-
算法步骤
：
-
划分多边形为测地三角形
：
- 计算最短路径 $SP(v_1, v_{\lfloor n/3 \rfloor})$、$SP(v_{\lfloor n/3 \rfloor}, v_{\lfloor 2n/3 \rfloor})$ 和 $SP(v_{\lfloor 2n/3 \rfloor}, v_1)$。
- 取 $bd(v_1, v_{\lfloor n/3 \rfloor})$ 的中间顶点 $v_{\lfloor n/6 \rfloor}$，计算 $SP(v_1, v_{\lfloor n/6 \rfloor})$ 和 $SP(v_{\lfloor n/6 \rfloor}, v_{\lfloor n/3 \rfloor})$。
- 类似地，取 $bd(v_{\lfloor n/3 \rfloor}, v_{\lfloor 2n/3 \rfloor})$ 和 $bd(v_{\lfloor 2n/3 \rfloor}, v_1)$ 的中间顶点 $v_{\lfloor n/2 \rfloor}$ 和 $v_{\lfloor 5n/6 \rfloor}$，计算相应的最短路径。
- 重复该过程，直到最短路径连接相邻的顶点对。这些最短路径将 $P$ 划分为不相交的区域，称为 $P$ 的测地三角形。
-
构建测地树
：
- 用一个度为 3 的自由树（测地树 $GT$）表示 $P$ 的风筝。
- 第一阶段计算的风筝作为 $GT$ 的根，后续阶段的风筝作为 $GT$ 中相应深度的节点。
-
查询算法
：
- 定位包含 $q$ 的测地三角形 $\alpha_1$ ：通过预处理平面三角形细分，可在 $O(\log n)$ 时间内完成。
- 使用二分搜索 ：在 $\alpha_1$ 的每个凹边上进行二分搜索，定位 $\overrightarrow{q}$ 与 $\alpha_1$ 的相交边。
- 重复过程 ：若相交边不是多边形边，则进入下一个测地三角形，重复上述过程，直到找到 $q’$。
-
时间复杂度分析
：
- 定位 $\alpha_1$ 需要 $O(\log n)$ 时间。
- 二分搜索每条边需要 $O(\log n)$ 时间。
- 由于 $\overrightarrow{q}$ 最多与 $2 \log n$ 个测地三角形相交，因此 $q’$ 可在 $O(\log^2 n)$ 时间内定位。
-
查询时间优化
：
- 确定前链和侧链 ：对于每个测地三角形 $\alpha_i$，确定 $\overrightarrow{q}$ 相交的凹链为前链，与 $\overrightarrow{q}$ 平行且相切的链为侧链。
- 使用加权平衡二叉树 ：每个叶子代表前链的一条边，权重为相应边的口袋中的顶点数。在该树中定位边的成本为 $O(1 + \log(W/w))$，其中 $w$ 是边的口袋大小，$W$ 是前链所有口袋的总大小。
- 分数级联 ：为每个测地三角形 $\alpha$ 创建一个虚拟节点，连接到表示 $\alpha$ 三个凹边的加权平衡二叉树的根。通过分数级联结构，可在 $O(\log n)$ 时间内定位 $q’$。
-
划分多边形为测地三角形
：
4. 具体操作步骤
-
划分多边形为测地三角形的详细步骤
：
- 初始化顶点标签：将多边形 $P$ 的顶点按逆时针顺序标记为 $v_1, v_2, \cdots, v_n$。
- 计算初始最短路径：计算 $SP(v_1, v_{\lfloor n/3 \rfloor})$、$SP(v_{\lfloor n/3 \rfloor}, v_{\lfloor 2n/3 \rfloor})$ 和 $SP(v_{\lfloor 2n/3 \rfloor}, v_1)$。
-
递归计算最短路径：
- 取 $bd(v_1, v_{\lfloor n/3 \rfloor})$ 的中间顶点 $v_{\lfloor n/6 \rfloor}$，计算 $SP(v_1, v_{\lfloor n/6 \rfloor})$ 和 $SP(v_{\lfloor n/6 \rfloor}, v_{\lfloor n/3 \rfloor})$。
- 取 $bd(v_{\lfloor n/3 \rfloor}, v_{\lfloor 2n/3 \rfloor})$ 的中间顶点 $v_{\lfloor n/2 \rfloor}$，计算 $SP(v_{\lfloor n/3 \rfloor}, v_{\lfloor n/2 \rfloor})$ 和 $SP(v_{\lfloor n/2 \rfloor}, v_{\lfloor 2n/3 \rfloor})$。
- 取 $bd(v_{\lfloor 2n/3 \rfloor}, v_1)$ 的中间顶点 $v_{\lfloor 5n/6 \rfloor}$，计算 $SP(v_{\lfloor 2n/3 \rfloor}, v_{\lfloor 5n/6 \rfloor})$ 和 $SP(v_{\lfloor 5n/6 \rfloor}, v_1)$。
- 重复上述步骤，直到最短路径连接相邻的顶点对。
-
计算 $SP(v_{\lfloor n/3 \rfloor}, v_{\lfloor 2n/3 \rfloor})$ 的详细步骤
：
- 计算 $SPT(v_1)$：使用 Guibas 等人的算法在 $O(n)$ 时间内计算 $SPT(v_1)$。
- 初始化 $r$ 和 $s$：设 $v_{\lfloor n/2 \rfloor}$ 是 $bd(v_{\lfloor n/3 \rfloor}, v_{\lfloor 2n/3 \rfloor})$ 的中间顶点，初始化 $r$ 为 $SP(v_{\lfloor n/2 \rfloor}, v_{\lfloor n/3 \rfloor})$ 中 $v_{\lfloor n/2 \rfloor}$ 的下一个顶点，$s$ 为 $SP(v_{\lfloor n/2 \rfloor}, v_{\lfloor 2n/3 \rfloor})$ 中 $v_{\lfloor n/2 \rfloor}$ 的下一个顶点。
-
处理四种情况：
- 情况 1 ：若 $SPT(v_1)$ 中 $s$ 的父节点在 $\overrightarrow{rs}$ 的左侧，$r$ 的父节点在 $\overrightarrow{sr}$ 的右侧，则当前 $rs$ 位于 $P$ 内。若 $rs$ 是 $SP(v_{\lfloor n/2 \rfloor}, v_{\lfloor n/3 \rfloor})$ 和 $SP(v_{\lfloor n/2 \rfloor}, v_{\lfloor 2n/3 \rfloor})$ 的切线，则 $SP(v_{\lfloor n/3 \rfloor}, v_{\lfloor 2n/3 \rfloor})$ 是 $SP(v_{\lfloor n/3 \rfloor}, r)$、$rs$ 和 $SP(s, v_{\lfloor 2n/3 \rfloor})$ 的串联；否则，更新 $r$ 或 $s$ 并重新测试。
- 情况 2 ：若 $SPT(v_1)$ 中 $s$ 的父节点在 $\overrightarrow{rs}$ 的右侧，$r$ 的父节点在 $\overrightarrow{sr}$ 的右侧，则当前 $rs$ 不在 $P$ 内。找到 $SP(v_{\lfloor n/2 \rfloor}, v_{\lfloor 2n/3 \rfloor})$ 上的边 $ww’$，使得 $w’ \in SP(w, v_{\lfloor 2n/3 \rfloor})$ 且 $w$ 是 $w’$ 在 $SPT(v_1)$ 中的父节点。定位 $SP(v_1, w)$ 和 $SP(v_{\lfloor n/3 \rfloor}, r)$ 之间的交叉切线 $r’s’$，$SP(v_{\lfloor n/3 \rfloor}, v_{\lfloor 2n/3 \rfloor})$ 是 $SP(v_{\lfloor n/3 \rfloor}, r’)$、$r’s’$、$SP(s’, w)$ 和 $SP(w, v_{\lfloor 2n/3 \rfloor})$ 的串联。
- 情况 3 ：与情况 2 类似。
- 情况 4 ：绘制 $SP(v_1, SP(v_{\lfloor n/3 \rfloor}))$ 和 $SP(v_1, SP(v_{\lfloor 2n/3 \rfloor}))$ 之间的切线 $r’s’$，并按上述方法构建 $SP(v_{\lfloor n/3 \rfloor}, v_{\lfloor 2n/3 \rfloor})$ 的其余部分。
5. 总结
本文介绍了矩形多边形中的路径查询和简单多边形中的射线射击查询算法。矩形多边形中的路径查询算法通过不断优化预处理成本，提高了查询效率。简单多边形中的射线射击查询算法通过将多边形划分为测地三角形，使用测地树和分数级联等技术，实现了最优的查询时间。这些算法在计算几何、计算机图形学等领域具有重要的应用价值。
6. 流程图
graph TD;
A[开始] --> B[划分多边形为测地三角形];
B --> C[构建测地树];
C --> D[处理查询射线];
D --> E[定位包含 q 的测地三角形];
E --> F[二分搜索相交边];
F --> G{是否为多边形边};
G -- 是 --> H[报告 q'];
G -- 否 --> I[进入下一个测地三角形];
I --> F;
H --> J[结束];
7. 表格总结
| 算法 | 查询时间 | 预处理时间 | 预处理空间 |
|---|---|---|---|
| de Berg 矩形最短路径查询算法 | $O(\log n + k)$ | $O(n \log n)$ | $O(n \log n)$ |
| Lingas 等人和 Schuierer 矩形最短路径查询算法 | $O(\log n + k)$（顶点查询 $O(1 + k)$） | $O(n)$ | $O(n)$ |
| Chazelle 等人的射线射击查询算法（未优化） | $O(\log^2 n)$ | $O(n)$ | $O(n)$ |
| Chazelle 等人的射线射击查询算法（优化后） | $O(\log n)$ | $O(n)$ | $O(n)$ |
简单多边形中的射线射击查询及路径查询算法解析
8. 深入理解射线射击查询算法
在前面我们已经对简单多边形中的射线射击查询算法有了一个基本的认识，接下来我们进一步深入探讨其背后的原理和一些关键细节。
8.1 测地三角形与风筝结构
测地三角形是该算法的核心概念之一。在划分多边形为测地三角形的过程中，我们通过不断计算最短路径来构建这些三角形。每个测地三角形的边界由三条最短路径组成，而这些最短路径会在三角形边界上形成反射链的顶点。
风筝结构则是由测地三角形及其三条尾巴组成。在划分过程中，每个风筝会在特定的阶段 $k$ 出现。例如，当 $k = 1$ 时，会出现以 $v_1$、$v_{\lfloor n/3 \rfloor}$ 和 $v_{\lfloor 2n/3 \rfloor}$ 为端点的风筝。随着阶段的推进，不同阶段的风筝之间存在着边的共享关系。在第 $k$ 阶段，最多有 $3\cdot2^{k - 1}$ 条最短路径，且部分最短路径会与之前阶段计算的最短路径共享边。
我们可以通过以下表格更清晰地了解不同阶段风筝的数量：
| 阶段 $k$ | 风筝数量 |
| ---- | ---- |
| 1 | 1 |
| $k > 1$ | 最多 $3\cdot2^{k - 2}$ |
这种结构的设计使得我们可以用一个自由树（测地树 $GT$）来表示这些风筝。测地树的高度和直径分别最多为 $\log n$ 和 $2 \log n$，这为后续的查询操作提供了良好的结构基础。
8.2 射线与测地三角形的相交分析
当进行射线射击查询时，射线 $\overrightarrow{q}$ 与多边形内的测地三角形相交情况是关键。根据引理 8.2.3，射线 $\overrightarrow{q}$ 最多与 $2 \log n$ 个测地三角形（或风筝）相交。这是因为射线从起点 $q$ 到与多边形边界的交点 $q’$ 所经过的测地三角形，在测地树 $GT$ 中对应着一条路径，而这条路径的长度最多为测地树的直径。
在定位射线与测地三角形的相交边时，我们使用二分搜索。首先定位包含 $q$ 的测地三角形 $\alpha_1$，然后在 $\alpha_1$ 的每个凹边上进行二分搜索，找到与射线相交的边。如果该边不是多边形边，则进入下一个测地三角形继续进行搜索，直到找到 $q’$。
8.3 优化查询时间的原理
为了将查询时间从 $O(\log^2 n)$ 优化到 $O(\log n)$，我们使用了加权平衡二叉树和分数级联技术。
加权平衡二叉树的每个叶子代表前链的一条边，其权重为相应边的口袋中的顶点数。通过这种方式，在树中定位边的成本为 $O(1 + \log(W/w))$，其中 $w$ 是边的口袋大小，$W$ 是前链所有口袋的总大小。这使得我们在定位射线与前链的相交边时能够更高效。
分数级联技术则用于确定每个测地三角形的前链和侧链。对于每个测地三角形 $\alpha$，我们创建一个虚拟节点，连接到表示 $\alpha$ 三个凹边的加权平衡二叉树的根。通过这种结构，我们可以在 $O(\log n)$ 时间内完成射线与多个测地三角形的相交边的定位。
9. 算法的实际应用与拓展
射线射击查询算法在许多领域都有实际应用，以下是一些常见的应用场景：
9.1 计算机图形学
在计算机图形学中，射线射击查询可用于光线追踪算法。光线追踪是一种用于生成逼真图像的技术，它通过模拟光线在场景中的传播来计算物体的光照和阴影。在这个过程中，需要确定光线与场景中物体的交点，这就可以使用射线射击查询算法来实现。
具体操作步骤如下：
1.
场景建模
：将场景中的物体表示为多边形或其他几何形状。
2.
预处理
：对场景中的多边形进行划分，构建测地树和相关的数据结构。
3.
光线发射
：从相机位置发射光线到场景中。
4.
射线射击查询
：使用射线射击查询算法确定光线与场景中物体的交点。
5.
光照计算
：根据交点的信息计算物体的光照和阴影。
9.2 地理信息系统（GIS）
在 GIS 中，射线射击查询可用于解决一些空间分析问题，例如视线分析。视线分析是指确定从一个点到另一个点是否存在视线遮挡。在这个过程中，我们可以将地形和建筑物等表示为多边形，然后使用射线射击查询算法来确定两点之间的视线是否被遮挡。
具体操作步骤如下：
1.
数据收集
：收集地形和建筑物等的地理数据，并将其表示为多边形。
2.
预处理
：对多边形进行划分，构建测地树和相关的数据结构。
3.
视线查询
：从起点发射射线到终点，使用射线射击查询算法确定射线与多边形的交点。
4.
结果分析
：根据交点的信息判断视线是否被遮挡。
10. 未来发展趋势
随着计算几何领域的不断发展，射线射击查询算法也在不断优化和拓展。以下是一些可能的未来发展趋势：
10.1 更高维度的应用
目前的射线射击查询算法主要应用于二维空间，但在一些领域，如三维计算机图形学和机器人导航，需要处理三维甚至更高维度的空间。未来的研究可能会将射线射击查询算法扩展到更高维度，以满足这些领域的需求。
10.2 实时查询性能的提升
在一些实时应用场景中，如游戏和虚拟现实，需要在短时间内完成大量的射线射击查询。未来的算法可能会进一步优化查询时间和空间复杂度，以提高实时查询性能。
10.3 与其他算法的结合
射线射击查询算法可以与其他计算几何算法相结合，如碰撞检测算法和路径规划算法。通过这种结合，可以解决更复杂的问题，提高算法的实用性和效率。
11. 总结与展望
本文详细介绍了矩形多边形中的路径查询和简单多边形中的射线射击查询算法。矩形多边形中的路径查询算法通过优化预处理成本，提高了查询效率。而简单多边形中的射线射击查询算法通过将多边形划分为测地三角形，使用测地树和分数级联等技术，实现了最优的查询时间。
这些算法在计算几何、计算机图形学、地理信息系统等领域具有重要的应用价值。随着技术的不断发展，我们期待这些算法能够在更多领域得到应用，并不断得到优化和拓展，为解决实际问题提供更强大的工具。
12. 流程图：算法应用流程
graph TD;
A[应用场景选择] --> B{计算机图形学};
B -- 是 --> C[场景建模];
B -- 否 --> D{地理信息系统};
D -- 是 --> E[数据收集];
D -- 否 --> F[其他应用场景];
C --> G[预处理];
E --> G;
F --> G;
G --> H[射线发射/查询];
H --> I[结果处理];
I --> J[应用结果展示];
13. 表格：算法优缺点总结
| 算法 | 优点 | 缺点 |
|---|---|---|
| de Berg 矩形最短路径查询算法 | 可在一定时间内报告路径 | 预处理时间和空间复杂度较高 |
| Lingas 等人和 Schuierer 矩形最短路径查询算法 | 降低了预处理成本 | |
| Chazelle 等人的射线射击查询算法（未优化） | 可解决射线射击查询问题 | 查询时间较长 |
| Chazelle 等人的射线射击查询算法（优化后） | 实现了最优查询时间 | 算法复杂度较高，实现难度较大 |
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