10、简单多边形弱外部可见性与最短路径算法解析

简单多边形弱外部可见性与最短路径算法解析

1. 最短路径树计算

首先介绍一种计算简单多边形顶点为根的最短路径树的算法。该算法无需事先知道多边形的可见弦，就能在 $O(n)$ 时间内完成计算。
- 算法步骤正确性分析
1. 顶点识别 ：步骤 1 和 2 通过逆时针和顺时针扫描，分别确定多边形 $P$ 的两个顶点 $v_{cc}$ 和 $v_{c}$，其中 $v_{cc} \in bd_{cc}(v_1, v_{c})$。
2. 可见弦端点分布 ：由于 $v_{cc}$ 和 $v_{c}$ 处存在反向转弯，根据引理 3.6.5，多边形 $P$ 中任何可见弦 $st$ 的一个端点（设为 $s$）属于 $bd_{cc}(v_1, v_{cc})$，另一个端点 $t$ 属于 $bd_{c}(v_1, v_{c})$。
3. 最短路径凸性 ：根据推论 3.6.6，$bd_{cc}(v_{cc}, v_{c})$ 中的所有顶点属于 $st$ 的同一个子多边形。因此，根据推论 3.6.7，从 $v_{cc}$ 和 $v_{c}$ 到 $bd_{cc}(v_{cc}, v_{c})$ 中任何顶点的最短路径必须是凸的，这在步骤 3 和 4 中进行检查。
4. 边和屋檐定位 ：步骤 5 通过顺时针扫描 $bd_{c}(v_{cc}, v_1)$ 定位边 $v_mv_{m + 1}$，使得 $SP_{cc}(v_1, v_m)$ 是凸的，但 $SP_{cc}(v_1, v_{m + 1})$ 不是凸的。步骤