9、SQ算法特性与应用解析

SQ算法特性与应用解析

1. SQ算法的均匀性

SQ算法在选择模数M时具有均匀性，这意味着它在均匀分布的情况下是最优的，能够达到第4节中描述的碰撞边界εu。
- s值分析 ：在步骤3执行并通过后，对于给定的k值，s取2k ≤ s < 2k+1范围内的奇数。当k = 0时，s只有一个值1；当k > 0时，s有2k−1种可能值。步骤3在k = 0时总是通过，k > 0时通过概率为一半。因此，对于任何给定的k，在步骤3通过的条件下，特定s值的概率为α2−k，其中α = 2/(W + 1)。
- q值分析 ：步骤6中选择的q值，对于给定的k，从2D−k种可能值中均匀选取，所以任何特定q值的概率为2k−D。由于s值的概率为α2−k，那么(s, q)对的概率为(α2−k)(2k−D) = α2−D，这个值不依赖于s和q，说明步骤6产生的(s, q)对是均匀分布的。虽然步骤7和8会拒绝一些对，但不影响分布的均匀性，所以SQ算法输出的(s, q)对是均匀分布的。
- 与Ω的对应关系 ：SQ算法产生的输出对集合与Ω有一一对应关系，即如果M ∈ Ω，有唯一的输出对(s, q)使得M = sq；如果(s, q)是输出对，有唯一的M ∈ Ω使得M = sq。由于输出对均匀分布，所以SQ算法在Ω上均匀选择M。

2. SQ算法的运行时间

SQ算法的运行时间适合进行分析，这里给出了基于实现的实证结果。
- 实验设置 ：在800 MHz的奔腾III上用C语言实现W = 32的SQ算法，不使用汇编语言，