5、概率建模与数据分析：从学生作弊到航天灾难

概率建模与数据分析：从学生作弊到航天灾难

1. A/B 测试与决策优化

在决策过程中，如果某一概率过高，影响到决策的舒适度，我们可以对站点 B 进行更多试验。因为站点 B 初始样本较少，每个额外的数据点对站点 B 的推断“效力”贡献比站点 A 更大。我们可以通过调整参数 true p A、true p B、N A 和 N B，观察 delta 的后验分布。这种 A/B 测试方式比假设检验更自然，假设检验往往给从业者带来更多困惑。

2. 应对社会数据中的不诚实问题

2.1 问题提出

社会数据存在特殊性，人们在回答问题时并不总是诚实，这给推断带来了额外的复杂性。例如，直接询问“你是否在考试中作弊过”，得到的答案必然存在一定比例的不诚实情况。可以确定的是，真实的作弊率低于观察到的比率（假设人们只在未作弊时说谎）。

2.2 引入二项分布

为了解决这个问题，我们引入二项分布。二项分布是一种非常流行的分布，因其简单且实用。它有两个参数：N 表示试验次数或潜在事件的实例数量，p 表示单次试验中事件发生的概率。其概率质量分布为：
[P(X = k) = \binom{N}{k} p^k (1 - p)^{N - k}]
如果 X 是参数为 p 和 N 的二项随机变量，记为 (X \sim Bin(N, p))，则 X 是 N 次试验中发生的事件数量（(0 \leq X \leq N)）。p 越大（在 0 到 1 之间），事件越有可能发生，二项分布的期望值为 (Np)。

以下是绘制不同参数下二项分布质量概率分布的代码：