30、计算复杂性：IP与PSPACE的关系探究

计算复杂性：IP与PSPACE的关系探究

1. IP包含于PSPACE

在计算复杂性领域，证明IP = PSPACE是一个核心目标。这里先证明IP ⊆ PSPACE，这通常被认为是相对容易的方向。

1.1 定理及证明思路

定理表明：IP ⊆ PSPACE。假设A属于IP，那么存在验证者V、诚实证明者P以及适用于A的协议(P, V)。不妨设协议每次运行恰好持续q轮，最后V要么接受要么拒绝，其中q是一个依赖于输入字x长度的多项式的值。
目标是找到一个PSPACE算法来判定A。为此，定义了协议(P, V)(x)进行k（1 ≤ k ≤ q）轮的通信历史Hk，它可以是消息序列Yk = (y1, z1, …, yk - 1, zk - 1, yk) 或者Zk = (y1, z1, …, yk - 1, zk - 1, yk, zk)，这里yi由P输出，依赖于先前的消息串和x，zi由V输出，依赖于先前的消息、x以及V计算时使用的随机串r。最后一条消息zq是V收到P的最后一条消息yq后的计算结果，值为接受或拒绝。
通过展示一个PSPACE算法，在输入x时模拟V并计算任意证明者P能使V相信x ∈ A的最大概率w，即w = maxP Prr [(P, V)(x)接受]。若x ∈ A，w至少为2/3；若x ∉ A，w至多为1/3。

1.2 函数W的定义

为了在PSPACE中计算w，定义了一个同样在PSPACE中的函数W，它以通信历史Hk为输入，输出是在初始消息为Hk中的消息时，所有证明者P使(P, V)(x)接受的最大概率。
- 基础情况 ：对于通信历史Zq，如果存在某个随机串r，使得Z