22、电路复杂性与低高阶层理论解析

电路复杂性与低高阶层理论解析

1. 多项式规模电路族

在研究电路复杂性时，多项式规模电路族是一个重要的概念。我们先从电路的编码开始介绍。

1.1 电路编码

对于一个电路 (C)，我们对其节点进行编号，记为 (g_1, g_2, \cdots)。其中，输出节点编号为 (0)，若有 (n) 个变量输入节点，则输入节点 (x_1, \cdots, x_n) 分别编号为 (1, \cdots, n)，节点编号顺序无其他限制，且最大节点编号为 (s(C)^{O(1)})，这样以二进制编码的门编号长度为 (O(\log s(C)))。

电路 (C) 可编码为元组 (\langle g, b, g_l, g_r \rangle) 的集合，具体规则如下：
- (g) 为节点编号。
- 若 (g = 0)，(b) 为空字；若 (g) 是内部节点编号，(b) 是该节点执行的布尔运算；若 (g \in {1, \cdots, n}) 是变量输入节点编号，(b) 为空字；若 (g) 是具有常数值的输入节点编号，(b) 是标记该节点的常数值。
- 若 (b) 是二元布尔运算，(g_l) 和 (g_r) 是为 (g) 提供输入值的节点编号；若 (b) 是 NOT 运算，(g_r) 为空字；若 (g) 是输入节点，(g_l) 和 (g_r) 均为空字。

用 (\overline{C}) 表示电路 (C) 的编码。这里需要思考一个问题：若语言 (L) 有多项式规模电路族 ({C_n}_{n>0})，是否存在多项式 (p)，使得对于所有 (n > 0)，(C_n) 的长度小于等于 (p(n)) 呢？这是一个值得深入探讨的问题。