15、非确定性与NP完全性相关知识解析

非确定性与NP完全性相关知识解析

在计算机科学的算法复杂度研究领域，非确定性和NP完全性是两个极为关键的概念。理解它们对于我们认识问题的计算难度、设计高效算法以及判断问题是否可解等方面都有着重要意义。接下来，我们将深入探讨非确定性、NP类问题、P类问题、枚举以及NP完全性等相关内容。

1. 刻画NP类问题

非确定性图灵机是具有多值转移函数的图灵机。当存在一条该非确定性图灵机M对输入字x的计算路径能终止于接受状态时，就表示M接受输入字x。

对于图灵机M，一个接受计算被定义为一系列的格局$I_0, I_1, …, I_n$，其中$I_0$是初始格局，$I_n$是接受格局，并且对于每个$i < n$，都有$I_i ⊢M I_{i + 1}$。我们定义二元关系$R$如下：
$R(x,y) ⇔ [x 是M的输入字，且y是M对x的接受计算]$

可以证明${(x,y) | R(x,y)}$属于复杂度类L。

下面的定理给出了NP类问题一个重要的与机器无关的刻画：
定理6.1 ：一个集合A属于NP，当且仅当存在一个多项式p和一个能在多项式时间内判定的二元关系R，使得对于所有在$\Sigma^ $中的字x，有$x ∈ A ⇔ ∃y[|y| ≤ p(|x|) ∧ R(x,y)]$。
- 证明 *：
- 假设$A ∈ NP$，设M是一个接受A的非确定性多项式时间有界图灵机。因为$L ⊆ P$，由前面关于关系R的定义可知，该关系满足上述条件。
- 反之，如果存在多项式p和能在多项式时间内判定的关系R使得上述条件成立，那么一个非确定