14、复杂性理论基础成果与非确定性及NP完全性

复杂性理论基础成果与非确定性及NP完全性

1. 计数字符串与语言

计数字符串是字母表 {1}∗ 上的单词，计数字语言是 {1}∗ 的子集。自然数 n 可以用二进制简洁表示为单词 n(w)，而计数字符串 1n(w) 则是对 w 所代表信息 n(w) 的冗长表示。对于语言 L ⊆Σ∗，定义 Tally(L) = {1n(w) | w ∈L}。

1.1 定理 5.18

NE ⊆E 当且仅当 NP 中的每个计数字语言都属于 P。

证明通过建立以下四个断言：
1. L ∈NE ⇒Tally(L) ∈NP；
2. Tally(L) ∈P ⇒L ∈E；
3. Tally(L) ∈NP ⇒L ∈NE；
4. L ∈E ⇒Tally(L) ∈P。

假设这些断言正确。若 L ∈NE 且 NP 中的每个计数字语言都属于 P，由断言 1 可知 Tally(L) ∈NP，所以 Tally(L) ∈P，再由断言 2 可得 L ∈E，从而 NE ⊆E。反之，若 T 是 NP 中的计数字语言且 NE ⊆E，令 L = {w ∈Σ∗| 1n(w) ∈T}，由断言 3 可知 L ∈NE，所以 L ∈E，再由断言 4 可得 Tally(L) = T ∈P，即 NP 中的每个计数字语言都属于 P。

1.2 断言 1 的证明

设 L ∈NE，M1 是一个 2cn 时间有界的非确定性多带图灵机，它接受 L。从 M1 构造图灵机 M2，其操作如下：给定输入字符串 1m，M2 在存储带上写入唯一的单词 w 使得 n(w) = m，通过对输入的每个符号 1 以二进制形式加 1 来实现。然后，M2 模拟