5、可计算性与计算模型介绍

可计算性与计算模型介绍

1. 图灵机相关定理与概念

• 多带图灵机与单带图灵机的等价性 ：对于每一个多带图灵机，都存在一个单带图灵机可以计算相同的部分可计算函数。
• 可判定语言的特征 ：一个语言 $L$ 是可判定的，当且仅当 $L$ 和它的补集 $\overline{L}$ 都是可接受的。
  • 证明思路 ：
    • 若 $L$ 是可判定的，根据定义它是可接受的。设 $M$ 是 $L$ 的判定器，将 $M$ 的接受状态 $q_{accept}$ 和拒绝状态 $q_{reject}$ 互换，得到的图灵机就是 $\overline{L}$ 的判定器，所以 $\overline{L}$ 也是可接受的。
    • 反之，设 $M_L$ 和 $M_{\overline{L}}$ 分别是接受 $L$ 和 $\overline{L}$ 的图灵机。设计图灵机 $N$，在输入字 $w$ 上，$N$ 将输入复制到第二条带上，然后在一些带上模拟 $M_L$，同时在其他带上模拟 $M_{\overline{L}}$。如果 $M_L$ 的模拟接受 $w$，则 $N$ 接受 $w$；如果 $M_{\overline{L}}$ 的模拟接受 $w$，则 $N$ 拒绝 $w$。由于每个字 $w$ 要么属于 $L$ 要么属于 $\overline{L}$，所以 $N$ 在每个输入上都会停机，从而证明 $L$ 是可判定的。

2. 作业要求