21、循环图最小双独立支配集产生的PBIB设计及其关联方案

循环图最小双独立支配集产生的PBIB设计及其关联方案

1. 引言

在图论中，图 $G = (V, E)$ 由顶点集 $V$ 和边集 $E$ 组成。对于给定正整数 $p$，设 $s_1, s_2, \cdots, s_t$ 是一个整数序列，其中 $0 < s_1 < s_2 < \cdots < s_t < \frac{p + 1}{2}$，循环图 $C_p(s_1, s_2, \cdots, s_t)$ 是一个有 $p$ 个顶点 $v_1, v_2, \cdots, v_p$ 的图，顶点 $v_h$ 与每个顶点 $v_{h \pm s_l(\text{mod } p)}$ 相邻，$s_t$ 的值被称为跳跃大小。

部分平衡不完全区组（PBIB）设计是一类二元、等重复和适当的设计，可根据其关联方案进行分类。一个 $m$ 类关联方案需满足以下条件：
- 若关联是对称的，则任意两个顶点是 $m$ 级关联，其中 $1 \leq k \leq m$。
- 每个顶点 $x$ 包含 $n_k$ 个 $k$ 级关联顶点，$n_k$ 与顶点 $x$ 无关。
- 若两个顶点 $x$ 和 $y$ 是 $k$ 级关联，则是 $x$ 的 $a$ 级关联且是 $y$ 的 $b$ 级关联的顶点数为 $p_{ab}^k$，且与 $k$ 级关联的 $x$ 和 $y$ 无关，即 $p_{ab}^k = p_{ba}^k$。

PBIB 设计包含 $\nu$ 个顶点、$\rho$ 个区组、大小为 $g$（$g < \nu$），满足：
- $\nu$ 个顶点恰好有 $r$ 个区组，且每个区组包含 $g$ 个不同的顶点。
- 若 $x$ 和