2014年5月30日

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离散傅里叶变换
   离散傅里叶变换（DFT），是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。在形式上，变换两端（时域和频域上）的序列是有限长的，而实际上这两组序列都应当被认为是离散周期信号的主值序列。即使对有限长的离散信号作DFT，也应当将其看作经过周期延拓成为周期信号再作变换。在实际应用中通常采用快速傅里叶变换以高效计算DFT。

   为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数xn定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下，使用离散傅里叶变换（DFT），将函数xn表示为下面的求和形式：

其中Xk是傅里叶幅度。直接使用这个公式计算的计算复杂度为O（n*n），而快速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进为O（n*lgn）。（后面会具体阐述FFT是如何将复杂度降为O（n*lgn）的。）计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。

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函数在时（频）域的离散对应于其像函数在频（时）域的周期性。反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性。也就是说，时间上的离散性对应着频率上的周期性。同时，注意，离散时间傅里叶变换，时间离散，频率不离散，它在频域依然是连续的。

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这四种傅立叶变换都是针对正无穷大和负无穷大的信号，即信号的的长度是无穷大的，我们知道这对于计算机处理来说是不可能的，那么有没有针对长度有限的傅立叶变换呢？没有。因为正余弦波被定义成从负无穷小到正无穷大，我们无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号。
    面对这种困难，方法是：把长度有限的信号表示成长度无限的信号。如，可以把信号无限地从左右进行延伸，延伸的部分用零来表示，这样，这个信号就可以被看成是非周期性离散信号，我们可以用到离散时域傅立叶变换（DTFT）的方法。也可以把信号用复制的方法进行延伸，这样信号就变成了周期性离散信号，这时我们就可以用离散傅立叶变换方法（DFT）进行变换。本章我们要讲的是离散信号，对于连续信号我们不作讨论，因为计算机只能处理离散的数值信号，我们的最终目的是运用计算机来处理信号的。
 
    但是对于非周期性的信号，我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示，这对于计算机来说是不可能实现的。所以对于离散信号的变换只有离散傅立叶变换（DFT）才能被适用，对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理，对于其它的变换类型只有在数学演算中才能用到，在计算机面前我们只能用DFT方法，后面我们要理解的也正是DFT方法。