[学习笔记]dp凸优化/wqs二分&[八省联考2018]林克卡特树lct

最新推荐文章于 2021-04-30 20:28:52 发布

北路人

最新推荐文章于 2021-04-30 20:28:52 发布

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文章标签： wqs/凸优化林克卡特树lct

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/jokingcoder/article/details/90144008

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本文深入解析WQS二分算法，通过经典题目讲解如何利用该算法求解树上不相交链的边权和最大值问题。文章分享了从不懂到理解的学习过程，详细阐述了算法原理及其实现细节，包括树形DP、凸优化和时间复杂度优化。

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废话

很早就想学wqs二分，结果拖了好久。因为以前是看了几遍都没有懂。。（太菜了
后来因为计划里凸优化的题(比如CF321E Ciel and Gondolas,CF739E Gosha is hunting…)太多了。。又不会高深的数据结构，所以只能硬着头皮学
网上blog这么多，还是wqs神仙本人的论文最好懂。。网上应该会有，这边就不放资源了

然后灵光一现就突然懂了

先上题

这道算是经典题了叭
传送门（小心点提交可能会被封号qaq

题意就不解释了
问题可以转换成求树上不相交的 $k + 1$ 条链的边权和的最大值

显然是树形dp啊
$d p [o p t] [x] [i]$ ,其中 $o p t$ 表示 $x$ 节点的度数(链上的)，所以只有可能等于 $0 / 1 / 2$ , $x$ 表示当前节点, $i$ 表示以 $x$ 为根节点的子树中有 $i$ 条链

然后就会有弄出一些转移方程

这里就不写了(自己推一下蛮简单的)

但是这样的时间复杂度是 $\mathcal{O(nk)}$ 的，已经可以过掉60分了
然后大佬说这个函数是凸的
然后窝打了一张表发现是真的

那么下面就是今天重点了

然后我们可以发现可以用 $\mathcal{O(n)}$ 的时间求出顶点的坐标
只要转移的时候记录一下现在的k是什么就好了

然后我们可以新定义一个函数 $f(x)=dp(x)-c\times x$
很容易发现这让函数的顶点的横坐标往左移或者往右移了
发现了什么？这个东西就可以二分了
没错这个就是wqs二分了

于最后就一定能求得一个顶点是 $(k, f (k))$
所以 $d p (x) = f (x) + k * x$ 这个就是最终的答案了
时间复杂度 $\mathcal{O(n\log k)}$
是不是很简单？？？（一脸天真

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define N 300010

using namespace std;
typedef long long LL;

LL cnt, lst[N];

struct Node{
	LL to, nxt;
	LL w;
}e[N << 1];

struct Data {
	LL x, y;
	Data(LL X = 0, LL Y = 0) {
		x = X; y = Y;
	}
	inline bool operator < (const Data &o) const {
		return x < o.x || x == o.x && y > o.y;
	}
	inline Data operator + (const Data &o) const {
		return Data(x + o.x, y + o.y);
	}
	inline Data operator + (LL o) {
		return Data(x + o, y);
	}
}dp[3][N];

inline void add(LL u, LL v, LL w) {
	e[++cnt].to = v;
	e[cnt].nxt = lst[u];
	e[cnt].w = w;
	lst[u] = cnt;
}

inline Data nw(Data o, LL v) {
	return Data(o.x - v, o.y + 1);
}

inline void dfs(LL x, LL fa, LL val) {
	dp[2][x] = Data(-val, 1);
	for (LL i = lst[x]; i; i = e[i].nxt) {
		LL son = e[i].to;
		if (son == fa) continue;
		dfs(son, x, val);
		dp[2][x] = max(dp[2][x] + dp[0][son], nw(dp[1][x] + dp[1][son] + e[i].w, val));
		dp[1][x] = max(dp[1][x] + dp[0][son], dp[0][x] + dp[1][son] + e[i].w);
		dp[0][x] = dp[0][x] + dp[0][son];
	}
	dp[0][x] = max(dp[0][x], max(nw(dp[1][x], val), dp[2][x]));
}

int main() {
	LL n, k;
	scanf("%lld%lld", &n, &k);
	k++;
	LL r = 0;
	for (LL i = 1, x, y, z; i < n; ++i) {
		scanf("%lld%lld%lld", &x, &y, &z);
		add(x, y, z);
		add(y, x, z);
		r += abs(z);
	}
	LL l = -r;
	while (l <= r) {
		LL mid = l + r >> 1;
		memset(dp, 0, sizeof dp);
		dfs(1, 0, mid);
		if (dp[0][1].y <= k) r = mid - 1;
		else l = mid + 1;
	}
	memset(dp, 0, sizeof dp);
	dfs(1, 0, l);
	printf("%lld\n", l * k + dp[0][1].x);
	return 0;
}