特征方程法解一阶线性代数递推式
数列{ a n a_n an}满足 a 1 = b , a n + 1 = c a n + d a_1=b,a_{n+1}=ca_n+d a1=b,an+1=can+d，求该数列的通项公式
针对递推关系式作出一个特征方程 x = c x + d x=cx+d x=cx+d
定理：设上述递推关系式的特征方程根为 x 0 x_0 x0
- 当 x 0 = a 1 x_0=a_1 x0=a1时， a n = a 1 a_n=a_1 an=a1
- 当 x 0 ≠ a 1 x_0\neq a_1 x0=a1时， a n = b n + x 0 , b n = b 1 c n − 1 , b 1 = a 1 − x 0 a_n=b_n+x_0,b_n=b_1c^{n-1},b_1=a_1-x_0 an=bn+x0,bn=b1cn−1,b1=a1−x0
证明2：
∵
c
≠
0
,
1
\because c\neq 0,1
∵c=0,1
得
x
0
=
d
1
−
c
x_0=\frac{d}{1-c}
x0=1−cd
作换元
b
n
=
a
n
−
x
0
b_n=a_n-x_0
bn=an−x0，
∴
b
n
+
1
=
a
n
+
1
−
x
0
=
c
a
n
+
d
−
d
1
−
c
=
c
a
n
−
c
d
1
−
c
=
c
(
a
n
−
x
0
)
=
c
b
n
\therefore b_{n+1}=a_{n+1}-x_0=ca_n+d-\frac{d}{1-c}=ca_n-\frac{cd}{1-c}=c(a_n-x_0)=cb_n
∴bn+1=an+1−x0=can+d−1−cd=can−1−ccd=c(an−x0)=cbn
特征方程法解二阶线性代数递推式
有数列{ a n a_n an}，递推公式为 a n + 2 = p a n + 1 + q a n , a 1 = α , a 2 = β a_{n+2}=pa_{n+1}+qa_n,a_1=\alpha,a_2=\beta an+2=pan+1+qan,a1=α,a2=β
特征方程为 x 2 − p x − q = 0 x^2-px-q=0 x2−px−q=0
- 当 x 1 ≠ x 2 x_1\neq x_2 x1=x2时， a n = A x 1 n − 1 + B x 2 n − 1 a_n=Ax_1^{n-1}+Bx_2^{n-1} an=Ax1n−1+Bx2n−1
- 当 x 1 = x 2 x_1=x_2 x1=x2时， a n = ( A + B ) x 1 n − 1 a_n=(A+B)x_1^{n-1} an=(A+B)x1n−1
(以上两式中的
A
,
B
A,B
A,B由
a
1
=
α
,
a
2
=
β
a_1=\alpha,a_2=\beta
a1=α,a2=β决定)
当然解高阶线性代数都可以用迭代法
斐波那契数列
f
(
n
+
2
)
=
f
(
n
+
1
)
+
f
(
n
)
f(n+2)=f(n+1)+f(n)
f(n+2)=f(n+1)+f(n)的特征方程为
x
2
−
x
−
1
=
0
x^2-x-1=0
x2−x−1=0，得
x
=
1
±
5
2
x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}
x=21±5
真题
T
(
n
)
=
2
T
(
n
2
)
+
2
n
T(n)=2T(\frac{n}{2})+2n
T(n)=2T(2n)+2n
=
2
(
2
T
(
n
4
)
+
2
×
n
2
)
+
2
n
=2(2T(\frac{n}{4})+2\times\frac{n}{2})+2n
=2(2T(4n)+2×2n)+2n
=
4
T
(
n
4
)
+
2
n
+
2
n
=4T(\frac{n}{4})+2n+2n
=4T(4n)+2n+2n
=
4
(
2
T
(
n
8
)
+
2
×
n
4
)
+
2
n
+
2
n
=4(2T(\frac{n}{8})+2\times \frac{n}{4})+2n+2n
=4(2T(8n)+2×4n)+2n+2n
=
8
T
(
n
8
)
+
2
n
+
2
n
+
2
n
=8T(\frac{n}{8})+2n+2n+2n
=8T(8n)+2n+2n+2n
猜想
T
(
n
)
=
2
k
T
(
n
2
k
)
+
2
n
×
k
T(n)=2^kT(\frac{n}{2^k})+2n\times k
T(n)=2kT(2kn)+2n×k
当
n
2
k
=
1
\frac{n}{2^k}=1
2kn=1时，
n
=
2
k
,
k
=
l
o
g
2
n
n=2^k,k=log_2n
n=2k,k=log2n
∴
T
(
n
)
=
2
k
T
(
1
)
+
2
n
×
k
=
a
n
+
2
n
l
o
g
2
n
\therefore T(n)=2^kT(1)+2n\times k=an+2nlog_2n
∴T(n)=2kT(1)+2n×k=an+2nlog2n
故选B
这个的迭代就很简单了，选D
同理，
T
(
n
)
=
2
k
T
(
n
4
k
)
+
k
n
T(n)=2^kT(\frac{n}{4^k})+k\sqrt{n}
T(n)=2kT(4kn)+kn
n
=
4
k
,
2
k
=
n
,
k
=
l
o
g
2
n
2
n=4^k,2^k=\sqrt{n},k=\frac{log_2n}{2}
n=4k,2k=n,k=2log2n
T
(
n
)
=
n
+
n
2
l
o
g
2
n
T(n)=\sqrt{n}+\frac{\sqrt{n}}{2}log_2\sqrt n
T(n)=n+2nlog2n
显然答案为C
特征方程为
2
x
2
−
x
−
1
=
0
2x^2-x-1=0
2x2−x−1=0
得
x
1
=
−
1
2
,
x
2
=
1
x_1=-\frac{1}{2},x_2=1
x1=−21,x2=1
a
1
=
A
+
B
=
0
,
a
2
=
A
x
1
+
B
x
2
=
−
1
2
A
+
B
=
1
a_1=A+B=0,a_2=Ax_1+Bx_2=-\frac{1}{2}A+B=1
a1=A+B=0,a2=Ax1+Bx2=−21A+B=1
解得
A
=
−
2
3
,
B
=
2
3
A=-\frac{2}{3},B=\frac{2}{3}
A=−32,B=32
a
n
=
−
2
3
×
(
−
1
2
)
n
−
1
+
2
3
×
1
n
−
1
a_n=-\frac{2}{3}\times(-\frac{1}{2})^{n-1}+\frac{2}{3}\times1^{n-1}
an=−32×(−21)n−1+32×1n−1
lim
n
→
+
∞
a
n
=
2
3
{\lim_{n \to +\infty}}a_n=\frac{2}{3}
n→+∞liman=32
选择B
下面是一道…神题…？其实也没这么难
一样的迭代
T
(
n
)
=
2
T
(
n
2
)
+
n
l
o
g
2
n
T(n)=2T(\frac{n}{2})+nlog_2n
T(n)=2T(2n)+nlog2n
T
(
n
2
)
=
2
T
(
n
4
)
+
n
2
(
l
o
g
2
n
−
1
)
T(\frac{n}{2})=2T(\frac{n}{4})+\frac{n}{2}(log_2n-1)
T(2n)=2T(4n)+2n(log2n−1)
T
(
n
4
)
=
2
T
(
n
8
)
+
n
4
(
l
o
g
2
n
−
2
)
T(\frac{n}{4})=2T(\frac{n}{8})+\frac{n}{4}(log_2n-2)
T(4n)=2T(8n)+4n(log2n−2)
T
(
n
)
=
2
(
2
T
(
n
4
)
+
n
2
(
l
o
g
2
n
−
1
)
)
+
n
l
o
g
2
n
T(n)=2(2T(\frac{n}{4})+\frac{n}{2}(log_2n-1))+nlog_2n
T(n)=2(2T(4n)+2n(log2n−1))+nlog2n
=
4
T
(
n
4
)
+
n
(
l
o
g
2
n
−
1
)
+
n
l
o
g
2
n
=4T(\frac{n}{4})+n(log_2n-1)+nlog_2n
=4T(4n)+n(log2n−1)+nlog2n
=
4
(
2
T
(
n
8
)
+
n
4
(
l
o
g
2
n
−
2
)
)
+
n
(
l
o
g
2
n
−
1
)
+
n
l
o
g
2
n
=4(2T(\frac{n}{8})+\frac{n}{4}(log_2n-2))+n(log_2n-1)+nlog_2n
=4(2T(8n)+4n(log2n−2))+n(log2n−1)+nlog2n
=
8
T
(
n
8
)
+
n
(
l
o
g
2
n
−
2
)
+
n
(
l
o
g
2
n
−
1
)
+
n
l
o
g
2
n
=8T(\frac{n}{8})+n(log_2n-2)+n(log_2n-1)+nlog_2n
=8T(8n)+n(log2n−2)+n(log2n−1)+nlog2n
=
8
T
(
n
8
)
+
3
n
l
o
g
2
n
−
2
n
−
n
=8T(\frac{n}{8})+3nlog_2n-2n-n
=8T(8n)+3nlog2n−2n−n
=
2
k
T
(
n
2
k
)
+
k
n
l
o
g
2
n
−
k
(
k
−
1
)
2
n
=2^kT(\frac{n}{2^k})+knlog_2n-\frac{k(k-1)}{2}n
=2kT(2kn)+knlog2n−2k(k−1)n
当
n
2
k
=
1
,
n
=
2
k
,
k
=
l
o
g
2
n
\frac{n}{2^k}=1,n=2^k,k=log_2n
2kn=1,n=2k,k=log2n时
T
(
n
)
=
n
+
n
l
o
g
2
n
−
1
2
l
o
g
2
n
T(n)=n+nlog^2n-\frac{1}{2}log^2n
T(n)=n+nlog2n−21log2n
选C
更新：时隔一年，NOIp死了，CSP-J/S活了，LZ也来更一次博客以示尊重
（下面假设T(1)=1）
根据迭代的思想
T
(
n
)
=
n
log
2
2
n
+
2.5
×
(
2
n
/
5
)
log
2
2
n
+
2.
5
2
×
(
2
/
5
)
2
log
2
2
n
+
.
.
.
T(n)=n\log_2^2n+2.5\times (2n/5)\log_2^2n+2.5^2\times (2/5)^2\log_2^2n+...
T(n)=nlog22n+2.5×(2n/5)log22n+2.52×(2/5)2log22n+...
=
n
log
2
2
n
+
n
log
2
2
n
+
n
log
2
2
n
+
.
.
.
(
log
2
n
个
)
=n\log_2^2n+n\log_2^2n+n\log_2^2n+...(\log_2n个)
=nlog22n+nlog22n+nlog22n+...(log2n个)
=
n
log
2
3
n
=n\log_2^3n
=nlog23n
这里可以发现
T
(
n
)
T(n)
T(n)最终比
n
log
2
2
n
n\log_2^2n
nlog22n多了一个
log
\log
log
为了对比，我们再看一道题
发现与上面
2.5
×
2
n
/
5
=
n
2.5\times 2n/5=n
2.5×2n/5=n不同的是
3
n
/
4
<
n
3n/4<n
3n/4<n了，会有什么不同呢？
依旧迭代
T
(
n
)
=
n
log
2
n
+
(
3
n
/
4
)
log
2
n
+
(
3
4
)
2
n
log
2
n
+
.
.
.
T(n)=n\log_2n+(3n/4)\log_2n+(\frac{3}{4})^2n\log_2n+...
T(n)=nlog2n+(3n/4)log2n+(43)2nlog2n+...
=
(
1
+
3
4
+
(
3
4
)
2
+
.
.
.
)
n
log
2
n
=(1+\frac{3}{4}+(\frac{3}{4})^2+...)n\log_2n
=(1+43+(43)2+...)nlog2n
根据收敛原则
T
(
n
)
=
1
1
−
3
4
×
n
log
2
n
=
4
n
log
2
n
T(n)=\frac{1}{1-\frac{3}{4}}\times n\log_2n=4n\log_2n
T(n)=1−431×nlog2n=4nlog2n
发现4是个没用的常数
所以
T
(
n
)
=
n
log
2
n
T(n)=n\log_2n
T(n)=nlog2n
为什么在这里我们就发现
T
(
n
)
T(n)
T(n)和
n
log
2
n
n\log_2n
nlog2n是同阶的了呢
原因在于：
- 在前一题中 2.5 × 2 5 = 1 2.5\times \frac{2}{5}=1 2.5×52=1是不收敛的，这样的东西一共有 log 2 \log_2 log2项，所以多了一个 log \log log
- 而后一题中 3 / 4 < 1 3/4<1 3/4<1是收敛的，最终收敛于一个常数可以被省略，因此什么都没有多
- 那么当
k
/
m
>
1
k/m>1
k/m>1时，
T
(
n
)
=
(
1
+
k
m
+
(
k
m
)
2
+
.
.
.
+
(
k
m
)
log
m
n
)
n
log
2
n
T(n)=(1+\frac{k}{m}+(\frac{k}{m})^2+...+(\frac{k}{m})^{\log_mn})n\log_2n
T(n)=(1+mk+(mk)2+...+(mk)logmn)nlog2n（假设给定的是
T
(
n
)
=
k
T
(
n
/
m
)
+
n
log
2
n
T(n)=kT(n/m)+n\log_2n
T(n)=kT(n/m)+nlog2n）
= ( 1 − ( k m ) log m n 1 − k m ) n log 2 n = ( k log m n n ) × n log 2 n =(\frac{1-(\frac{k}{m})^{\log_mn}}{1-\frac{k}{m}})n\log_2n=(\frac{k^{\log_mn}}{n})\times n\log_2n =(1−mk1−(mk)logmn)nlog2n=(nklogmn)×nlog2n
= k log m n log 2 n =k^{\log_mn}\log_2n =klogmnlog2n
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