GDSOI2019 D2 高中生数学题（计算组合数中的质数幂次、库默尔定理、数位dp）

最新推荐文章于 2020-08-05 22:02:49 发布

原创最新推荐文章于 2020-08-05 22:02:49 发布 · 816 阅读

2 ·

CC 4.0 BY-SA版权

题解同时被 2 个专栏收录

186 篇文章

订阅专栏

新内容

86 篇文章

订阅专栏

博客介绍了库默尔定理，即组合数C(n,m)中质数p的幂次等于n - m在p进制下的借位次数，也等于m+(n - m)在p进制下的进位次数，并给出原理公式。还提到数位dp常用来统计这类数的个数，给出暴力dp代码，添加讨论可得正解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

在这里插入图片描述
库默尔定理：
$C (n, m)$ 中含有的质数p幂次
= $n - m$ 在p进制下的借位次数
= $m + (n - m)$ 在p进制下的进位次数。

原理：
$\sum_{k>0}\frac n {p^k}-(\frac{n-m}{p^k} + \frac{m}{p^k})$
（都是整除）
即：(a+b)从 $p^k$ 起的高位与 $a 的高位 + b 的高位$ 是否相等，取决于该位是否接收了低位的进位。（因此最多差1）

由此，进位次数便与所含幂次扯上了关系。数位dp常用来统计这类数的个数。

以下代码是暴力dp。仅需要添加一些讨论即可获得正解。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 70;

ll n,p,K;
ll g[N];
ll f[N][N][2][2];

int main(){
	freopen("math.in","r",stdin);
	// freopen("math.out","w",stdout);
	cin>>n>>p>>K;
	while(n) {
		g[++g[0]] = n % p;
		n /= p;
	}
	f[g[0]+1][0][0][1] = 1;
	for(int i = g[0]; i; i--) {
		for(int cnt = 0; cnt < g[0]; cnt++) {
			for(int li = 0; li < 2; li++) {
				for(int jw = 0; jw < 2; jw++) if (f[i + 1][cnt][jw][li]) {
					for(int njw = 0; njw < 2; njw++) {
						if(njw==1 && i==1) break;
						for(int x = 0; x < p; x++) {
							if(li && x > g[i]) break;
							int nli = li && x == g[i];
							int ts = g[i] + (jw ? p : 0) - njw;
							if(ts - x >= p || ts - x < 0) continue;
							f[i][cnt + njw][njw][nli] += f[i + 1][cnt][jw][li];
						}
					}
				}
			}
		}
	}
	ll ans = 0;
	for(int z = K; z < g[0]; z++) ans += f[1][z][0][1] + f[1][z][0][0];
	printf("%lld\n",ans);
}