杜教筛如何推式子/堆柿子

对于求数论函数f的1..n前缀和，可以找另一个好求前缀和的函数g，配成狄利克雷卷积。
首先你要有一个好求的狄利克雷卷积前缀和类似
$\sum_{i=1}^{n}(g*f)(i)$，这个东西要能高效率求，不妨设为H以便下文理解
（因为就像一个常数，不需要参与化简）。

然后我们考虑将其化简，目的是变出个sum(f(1..n))，然后将剩下的一大堆好求的东西移到另外一边去。
$= \sum_{i=1}^{n}\sum_{j|i}f(j)g(\frac i j)$

想要不走弯路化简，则先枚举另外函数自变量b，再枚举被求函数f的自变量i ，以便配出sum(f(1..n))的形式（即上式中的i=下式中的bi）
$=\sum_{b=1}^{n}\sum_{i=1}^{i=n/b}f(i)g(b)$

限制的意思是(ib<=n)，再化简
$=\sum_{b=1}^{n}g(b)sum(f(1..n/b))$

很好，出现了一个可以分块的n/b.
看到没有，当b取1的时候我们所求sum(f(1..n))就出现了，将他拿出来。
$=sum(f(1..n)) + \sum_{b=2}^{n}g(b)sum(f(1..n/b))$

整理一下我们的成果
$H=sum(f(1..n)) + \sum_{b=2}^{n}g(b)sum(f(1..n/b))$

移项得出最后的式子
$sum(f(1..n)) =H - \sum_{b=2}^{n}g(b)sum(f(1..n/b))$

这就是最终的结果了owo

因为我们一开始选用的函数g的前缀和就可以高效率求，

该分块的分块，再加上记忆化sum(i)，达到$O(n^{3/4})$的复杂度。

只要预处理n的2/3次方的sum(i) (证明？？？)，复杂度可以进一步优化成$O(n^{2/3})$的复杂度。