jzoj6516 数二数（dp）_数二数jzoj-优快云博客

题意

你有一个序列，有某一个位置是特殊的。你可以决定每个区间是否询问，回答你特殊位置是否在此区间内。求出可以解答所有情况的询问方案数。
n<=300

分析

要求不能有点是等价的；一个询问的区间可以把点分成两部分，包含点i的所有询问集合为 $S i$ ，不能有Si是相同的。
对于一种任意询问方法所对应的Si序列，可以在原序列上做一个集合划分，将Si相同的位置划分到一起。此时：不会有a<b<c<d，满足Sa=Sc且Sb=Sd，也就是集合不会"相交"。
那么，如何计算划分成n个集合的询问方案数呢？考虑计算不合法的方案数。
考虑先安排当前所有没有被其他集合“包含”的集合（的分布区间）。可以称这些集合为第一层集合。
也就是说，1~n会被[集合最左，集合最右]这样的区间完整覆盖。只要这样的集合<n个，那么这就是一个不合法方案。
我们先对整个序列做一个划分，每一段表示一个第一层集合所覆盖的区域。这些段内部（不含端点）的区间是可以任意选择的，不会影响第一层的结构。这个方案数可以用一个简单的dp计算。除此之外，其他选的询问必须同时包含一段的左右端点，才符合硬点的第一层结构。
那如何将不同的第一层区域区分出来呢？其实就是序列长度为第一层集合个数时的答案。用上述方法做一个 $n^3+n^2$ 的dp就可以了。第一个dp实际上是可以用卷积优化的。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 310;
ll g[N][N],n,mo,f[N];
ll jc[N],njc[N];
ll ksm(ll x, ll y){
	ll ret = 1; for(; y; y >>= 1) {
		if (y & 1) ret = ret * x % mo;
		x = x * x % mo;
	}
	return ret;
}
ll C(ll n,ll m){
	if(n<m)return 0;
	return jc[n]*njc[m]%mo*njc[n-m]%mo;
}
ll mi[N*N];
int main() {
	freopen("two.in","r",stdin);
	freopen("two.out","w",stdout);
	cin>>n>>mo;
	mi[0]=1;for(int i=1;i<=n*n;i++)mi[i]=mi[i-1]*2%mo;
	jc[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) jc[i]=jc[i-1]*i%mo;
	njc[n]=ksm(jc[n],mo-2);
	for(int i=n-1;~i;i--)njc[i]=njc[i+1]*(i+1)%mo;
	g[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=i;j++){
			for(int k=1;k<=i;k++){
				g[i][j]=(g[i-k][j-1]*mi[(k-1)*(k-2)/2] + g[i][j])%mo;
			}
		}
	}
	f[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f[i]=ksm(2,(i+1)*i/2);
		for(int k=1;k<i;k++)
			f[i]=(f[i]-g[i][k]*f[k])%mo;
	}
	cout<<(f[n]+mo)%mo<<endl;
}