针对CSP-J/S的每日一练：Day 5

原创已于 2023-11-14 18:50:41 修改 · 189 阅读

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文章标签：

#算法 #c++ #数据结构

于 2023-11-12 18:21:58 首次发布

博客围绕珂朵莉数列问题展开，先给出题目描述、输入输出格式及样例，题目要求计算数列 {bn} 前 N 项。接着介绍思路，利用数列性质，通过约数分块算法统计因子个数，时间复杂度为 O(n√n)，最后给出示例代码。

一、审题

题目描述

珂朵莉有一个正整数数列 ${a_n\}$ ，对于所有的 $i≥1i\geq 1$ ， $ai+1=ai×i+1a_{i+1}=a_{i}\times i+1$ 。
现在她定义了一个新的数列 ${b_n\}$ ，对于所有的 $i≥1i\geq 1$ ， $b_i$ 表示有多少个 $a_j$ ，满足 $1≤j<i1\leq j<i$ 且 $a_j$ 是 $a_i$ 的因子。
请你帮助珂朵莉计算出数列 ${b_n\}$ 的前 $N$ 项。

输入格式

输入文件的第一行包含一个整数 $N$ 。

输出格式

输出文件共 $N$ 行，第 $i$ 行表示 $b_i$ 的值。

输入样例

10

输出样例

0
1
1
1
2
1
3
1
2
4

题目来源

2018 CSP-J No.3

二、思路

珂朵莉的数列 $a1⋯na_{1\cdots n}$ 有一个特点： $aj>0(i>j)a_i \bmod a_j>0(i>j)$ 。因为如果存在 $i > j$ ，满足 $a_j|a_i$ ，那么 $aj=1a_{i+1}\bmod a_j=a_i\times i+1 \bmod a_j=1$ ，那么 $a_j|a_{i+1}$ ，所以不满足原式。在这个性质的基础上，我们可以通过约数分块算法来统计每个数的因子个数，时间复杂度为 $O(nn)O(n\sqrt n)$ 。

约数分块算法的基本思路是，将每个数 $x$ 的因子分为两类：小于等于 $x\sqrt x$ 的因子和大于 $x\sqrt x$ 的因子。只需要先统计小于等于 $x\sqrt x$ 的因子数，然后再计算大于 $x\sqrt x$ 的因子数。这样，我们只需要枚举 $n\sqrt n$ 个因子即可完成统计。具体实现时，可以先预处理每个数的小于等于 $n\sqrt n$ 的因子个数，然后针对每个 $i$ ，枚举其大于 $i\sqrt i$ 的因子，根据约数的对称性，即可计算出小于 $i\sqrt i$ 的因子个数，从而求出 $b_i$ 。

时间复杂度分析：对于每个 $x$ ，通过约数分块算法只需要枚举 $x\sqrt x$ 个因子，因此时间复杂度为 $O(nn)O(n\sqrt n)$ 。

三、示例代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;

const int MAXN = 1005;
int b[MAXN];
vector<int> factors[MAXN];  // 存储每个数的因子

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    // 预处理每个数的因子
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j * j <= i; j++)
        {
            if (i % j == 0)
            {
                factors[i].push_back(j);
                if (j != i / j)
                {
                    factors[i].push_back(i / j);
                }
            }
        }
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        // 先计算小于等于sqrt(i)的因子个数
        for (int j = 0; j < factors[i].size(); j++)
        {
            if (factors[i][j] <= sqrt(i))
            {
                b[i]++;
            }
        }

        // 再计算大于sqrt(i)的因子个数
        for (int j = 0; j < factors[i].size(); j++)
        {
            if (factors[i][j] > sqrt(i))
            {
                if (factors[i][j] < i)
                {
                    b[i]++;
                }
            }
        }

        cout << b[i] << endl;
    }

    return 0;
}