欧拉函数欧拉定理欧拉降幂

最新推荐文章于 2025-06-21 20:20:09 发布

JK Chen

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分类专栏：数论/数学知识点 ACM中的数学问题合集

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本文详细介绍了欧拉函数的定义、性质及其应用。包括欧拉函数的计算方法、通式及特殊情形下的简化公式，并深入探讨了欧拉定理及其在幂次运算中的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

欧拉函数:

定义:

$ϕ(i)\phi(i)$ 表示第i个欧拉函数的值,代表了从1到i与i互质的数的个数,例如 $ϕ(8)=4\phi(8)=4$ ，因为1,3,5,7均和8互质

通式:

$ϕ(x)=x∗∏i=1n(1−1pi)(pi为x的质因子)\phi (x)=x*\prod_{i=1}^n(1-\dfrac{1}{p_i}) (p_i为x的质因子)$
$eg:ϕ(8)=8∗(1−12)=4eg:\quad \phi(8)=8*(1-\dfrac{1}{2})=4$

关系式:

如果a是素数且n不是a倍数 , 有 $ϕ(n∗a)=ϕ(n)∗(a−1)\phi(n*a)=\phi(n)*(a-1)\quad$
如果a是素数且n是a倍数 , 有 $ϕ(n∗a)=ϕ(n)∗a\phi(n*a)=\phi(n)*a$
如果n是素数 , 有 $ϕ(n)=n−1\phi(n)=n-1$
如果n和m互质 , 有 $ϕ(m∗n)=ϕ(m)∗ϕ(n)\phi(m*n)=\phi(m)*\phi(n)$
如果n是奇数 , 有 $ϕ(2∗n)=ϕ(n)\phi(2*n)=\phi(n)$
如果n>2 , 有 $ϕ(n)\phi(n)$ 为偶数
如果p是素数 , 有 $ϕ(pq)=pq−pq−1\phi(p^q)=p^q- p^{q-1}$

求和式：

$∑d∣nϕ(d)=n\sum_{d|n}\phi(d)=n$
$∑i=1n[gcd(n,i)=1]=ϕ(n)\sum_{i=1}^n[gcd(n,i)=1]=\phi(n)$
$∑i=1ni[gcd(n,i)=1]=⌈ϕ(n)∗n2⌉\sum_{i=1}^ni[gcd(n,i)=1]=\lceil \dfrac{\phi(n)*n}{2}\rceil$ ，由于 $n > 2$ 时欧拉函数值为偶数，所以只有 $n = 1$ 时为奇数，所以可以写成 $ϕ(n)∗n2+[n=1]\dfrac{\phi(n)*n}{2}+[n=1]$ 或者 $ϕ(n)∗n+[n=1]2\dfrac{\phi(n)*n+[n=1]}{2}$

按照通式我们就可以O(sqrt(n))求出一个数的欧拉函数值：

int phi(int n){  
     int res=n,a=n;  
     for(int i=2;i*i<=a;i++){  //这里可以素数筛处理再枚举素数，不过这样也是可以的
         if(a%i==0){  
             res=res/i*(i-1); 
             //res=rea-rea/i;
             while(a%i==0) a/=i;  
         }  
     }  
     if(a>1) res=res/a*(a-1);  
     return res;  
}

可以利用性质，O(n)筛法处理出n个数的值，而大于 $n$ 的无法预处理的部分，可以用性质去掉部分素因子，降到 $[1, n]$ ，两部分相乘得。

const int MAXN = 1e6+5;
bool flag[MAXN];
LL phi[MAXN];
LL p[MAXN];
LL cnt ;

void Get_Phi(){
    cnt = 0;
    phi[1] = 1ll;
    for(LL i=2ll; i<MAXN; i++)   {
        if(!flag[i]) {
            p[++cnt] = i;
            phi[i] = i-1ll;//性质2
        }
        for(LL j=1; j<=cnt&&1ll*i*p[j]<MAXN; j++){
            flag[i*p[j]] = 1;
            if(i%p[j] == 0){
                phi[i*p[j]] = p[j] * phi[i];//性质3
                break;
            }
            else phi[i*p[j]] = (p[j]-1ll) * phi[i];//性质1
        }
    }
}
int Get_Phi(int n){
    int now=1;
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        if(n<MAXN)return now*phi[n];
        if(n%p[i]==0)while(1){
            n/=p[i];
            if(n%p[i]==0){
                now*=p[i];
            }
            else{
                now*=p[i]-1;
                break;
            }
        }
        if(n==1)return now;
        if(p[i]>sqrt(n))
            return now*(n-1);
    }
}