Sequence(矩阵快速幂塞一个不定数)

最新推荐文章于 2019-05-20 22:01:00 发布

JK Chen

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/jk_chen_acmer/article/details/81637421

本文详细解析了HDU6395题目中特定数列的求值方法，通过矩阵快速幂技巧解决含特殊项的递归问题，并提供了完整的C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

发道水题,话说比赛的时候想了差不多半个小时

原题 : hdu 6395

题意:

给a,b,c,d,P,n
$F_1=a,F_2=b,F_n=C*F_{n-2}+D*F_{n-1}+[\dfrac{P}{n}]$

想了很久,以为我可以找到一个矩阵,完美符合这个递推式(加了n和取整后减掉的余数),结果不行,就只能用笨办法了

二分得出 $\dfrac{P}{n}$ 不变的那段,分多段矩阵快速幂

数值矩阵: $\begin{bmatrix} F_n-2 \;, &F_{n-1}\,,&[\dfrac{P}{n}] \end{bmatrix}$

乘积矩阵: $\begin{bmatrix} 0&C&0\\1&D&0\\0&1&1 \end{bmatrix}$

代码:

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
#define D long long
#define N 4
using namespace std;
const D MOD=1e9+7;

struct matrix{
    int size;
    D mat[N][N];
    matrix(int s){
        size=s;for(int i=1;i<=s;i++)for(int j=1;j<=s;j++)mat[i][j]=0;
    }
    matrix operator * (const matrix & x)const{
        matrix ans(x.size);
        for(int i=1;i<=x.size;i++){
            for(int j=1;j<=x.size;j++){
                for(int k=1;k<=x.size;k++){
                    ans.mat[i][j]=(ans.mat[i][j]+mat[i][k]*x.mat[k][j])%MOD;
                }
            }
        }return ans;
    }
} ;
matrix swift(matrix a,D t){
    matrix ans(a.size);
    for(int i=1;i<=a.size;i++)ans.mat[i][i]=1;
    while(t){
        if(t&1ll)ans=ans*a;
        a=a*a;t>>=1;
    }return ans;
}

int main(){
    int t;scanf("%d",&t);
    while(t--){
        D a,b,c,d,P,n;
        scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&d,&P,&n);
        if(n==1){printf("%lld\n",a);continue;}
        if(n==2){printf("%lld\n",b);continue;}
        D l,r=2;
        matrix f(3),mul(3);
        f.mat[1][1]=a,f.mat[1][2]=b;
        mul.mat[1][2]=c;mul.mat[2][1]=1;
        mul.mat[2][2]=d;mul.mat[3][2]=1;
        mul.mat[3][3]=1;
        while(r!=n){
            l=r+1;
            D tmp=l;r=n;
            while(r-tmp>1){
                D mid=tmp+r>>1;
                if(P/mid==P/l)tmp=mid;
                else r=mid;
            }
            if(P/r==P/l);
            else r=tmp;

            f.mat[1][3]=P/l;
            f=f*swift(mul,r-l+1);
        }
        printf("%lld\n",f.mat[1][2]);
    }

}