4、基于秩度量的密码学算法及量子攻击分析

基于秩度量的密码学算法及量子攻击分析

在当今的密码学领域，基于不同数学难题构建安全的密码算法是一个重要的研究方向。本文将深入探讨基于秩度量的单向函数、伪随机数生成器（PRNG）以及量子攻击对这些算法的影响。

基于秩度量的单向函数

首先，我们利用秩 syndrome 解码（RSD）问题的困难性来构建单向函数。强单向函数的定义如下：
- 定义 3：函数集合 ${f_n : E_n \to F_{2}^{k_n}}$ 被称为强单向函数，如果存在一个多项式时间算法，能对所有 $x \in E_n$ 计算 $f_n(x)$；并且对于每个概率多项式时间算法 $A$，所有 $c > 0$ 以及足够大的 $n$，有 $Prob{A(f_n(x)) \in f_n^{-1}(f_n(x))} < \frac{1}{n^c}$。

我们考虑的函数族为：
$E_{n,k} = {(H, y) : H \in F_{q^n}^{(n - k) \times n}, y \in F_{q^n}^n, w_R(y) = w_n}$
$f : E_{n,k} \to F_{q^n}^{(n - k) \times (n + 1)}$
$(H, y) \to (H, Hy^T)$

当我们选择 $w_n \approx d_{GV}(n, k)$ 时，这些函数应该是强单向的，因为在这个范围内通常有唯一的原像。

基于秩度量码的伪随机数生成器

生成器的描述

有了基于困难问题的单向函数族后，我们的目标是用它们构建一个 PRNG，使其继承该困难性。令 $k = Rn$ 和 $w = \