43、基于格的密码学：概念、问题与算法

基于格的密码学：概念、问题与算法

1. 基于格的数学问题

1.1 格的定义

格可以从两个不同的角度来定义：
- 几何角度 ：格是 $n$ 维空间中具有周期性结构的一组点。格的基向量用于生成格，其数学描述为 $\Lambda = \left{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}b_{i}:x_{i}\in\mathbb{Z}\right}$，其中 $b_1,\cdots,b_n$ 是基向量。
- 群论角度 ：考虑实数集 $\mathbb{R}^n$，格是 $\mathbb{R}^n$ 群的一个子群，且与整数群 $\mathbb{Z}^n$ 同构。如果 $G$ 是在某种运算下的群，$H$ 是 $G$ 的一个子集，且在该运算下也构成群，那么 $H$ 是 $G$ 的子群。例如，整数加法群是有理数加法群的子群。

同构是指两个结构之间的一种映射，它能保持结构且可通过逆映射反转。例如，实数加法群 $(\mathbb{R}, +)$ 与正实数乘法群 $(\mathbb{R}^+, \times)$ 是同构的。

1.2 向量空间

向量是一组值，这些值可以是实数、复数、整数等。一组向量在向量加法和标量乘法下封闭，就构成了向量空间。对于向量空间 $V$，任意两个向量 $v, w \in V$ 和标量 $\alpha$，需满足以下条件：
- 封闭性 ：
- $v + w \in V$
- $\alpha v \in V$
- 其他性质 ：
- 加法交换律：$v + w = w + v$
- 加法结合律：$(u + v) + w = u + (w + v)$
- 分配律：$\alpha (v + w) = \alpha v + \alpha w$ 和 $(\alpha + \beta)v = \alpha v + \beta v$
- 存在零向量 $z \in V$，使得 $z + v = v$
- 对于每个向量 $v$，存在其加法逆元 $-v \in V$，使得 $v + (-v) = z$

向量空间 $V$ 的维度是其基域上向量的数量，也称为向量空间的基数。一组向量 $B$ 构成向量空间 $V$ 的基，当且仅当 $V$ 中的每个向量都可以写成 $B$ 中向量的有限线性组合。

1.3 正交性

在向量空间中，两个元素 $u$ 和 $v$ 若它们的点积为零，则称它们正交。点积是两个向量或矩阵对应元素乘积的和，用于从两个向量或矩阵生成一个标量。与之相对的是张量积，两个向量空间 $V$ 和 $W$ 的张量积 $V \otimes W$ 也是一个向量空间。

1.4 幺模矩阵

幺模矩阵是行列式为 $+1$ 或 $-1$ 的整数方阵。行列式是从方阵元素计算得到的值，矩阵 $A$ 的行列式记为 $|A|$。例如，矩阵 $\begin{pmatrix}2&3&2\4&2&3\9&6&7\end{pmatrix}$ 是一个幺模矩阵，其行列式计算如下：
[
\begin{align }
&2\begin{vmatrix}2&3\6&7\end{vmatrix}-3\begin{vmatrix}4&3\9&7\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}4&2\9&6\end{vmatrix}\
=&2(2\times7 - 3\times6) - 3(4\times7 - 3\times9) + 2(4\times6 - 2\times9)\
=&2(14 - 18) - 3(28 - 27) + 2(24 - 18)\
=&2\times(-4) - 3\times1 + 2\times6\
=& -8 - 3 + 12\
=& 1
\end{align }
]

1.5 循环格

循环格是在旋转移位运算符下封闭的格，其更严格的定义为：若对于任意 $x \in L$，都有 $\text{rot}(x) \in L$，则格 $L$ 是循环格。

1.6 格上的数学问题

1.6.1 最短整数问题（SIS）

给定一个 $m \times n$ 的格 $A$，它由 $m$ 个均匀随机的整数向量组成，即 $A \in \mathbb{Z}_q^{n\times m}$，要找到一个非零的短整数向量 $v$，使得 $Av = 0 \mod q$。这个问题是 Ajtai 密码原语的基础。

1.6.2 最短向量问题（SVP）

给定一个特定的格 $L$ 和格的范数 $N$，找到格 $L$ 中用范数 $N$ 衡量的最短非零向量。更正式地说，对于格 $L$、向量 $v$ 和范数 $n$，$\lambda_L$ 表示格 $L$ 中最短非零向量的长度。目前，没有一种方法能在实际可用的时间内解决这个问题，即使使用量子计算机，因此 SVP 是基于格的密码学的良好基础。

SVP 的一个变体是间隙最短向量问题（GapSVP）。给定格的维度的固定函数 $\beta$，以及格的基，算法需要确定 $\lambda(L) \leq 1$ 还是 $\lambda > \beta$。

1.6.3 最近向量问题（CVP）

给定一个特定的向量空间 $V$、格 $L$ 的度量 $M$ 和向量 $v \in V$（但不一定在格 $L$ 中），找到格 $L$ 中最接近向量 $v$ 的向量。CVP 与 SVP 相关，并且计算上也很难解决，实际上它是 SVP 的推广。

与 GapSVP 类似，也存在 GapCVP。输入包括格的基和向量 $v$，算法需要确定以下两种情况中的哪一种是正确的：
- 存在格向量 $w$，使得 $w$ 和 $v$ 之间的距离至多为 1。
- 格中的每个向量与 $v$ 的距离都大于 $\beta$。

2. 基于格的密码算法

2.1 NTRU

NTRU 是一组相关的密码算法，由 Jeffery Hoffstein、Jill Pipher 和 Joseph Silverman 在 1996 年首次公开描述。它基于格中的最短向量问题，其安全性依赖于在给定的截断多项式环中分解某些多项式的计算难度。

2.1.1 多项式环

多项式环是由一个或多个不定元（变量）的多项式集合构成的环，其系数在另一个环中。例如，环 $\mathbb{R}[X]$ 是 $X$ 上的环，系数为 $p$，可以定义为 $p = p_0 + p_1X + p_2X^2 + \cdots + p_nX^n$。截断多项式环是由次数不超过某个设定值的多项式组成的环。

2.1.2 NTRU 算法步骤

• 密钥生成 ：
  1. 选择素数 $N$，然后选择 $p$ 和 $q$，满足 $\gcd(p,q) = 1$，$q$ 通常是 2 的幂，$p$ 通常较小。
  2. 生成两个次数至多为 $N - 1$ 的多项式 $f$ 和 $g$，它们的系数在 ${-1, 0, 1}$ 中。多项式 $f$ 必须在模 $p$ 和模 $q$ 下都有逆元，若不满足则重新选择 $f$。计算 $f$ 模 $p$ 和模 $q$ 的逆元，分别记为 $f_p$ 和 $f_q$。
  3. 生成公钥 $h = p f_q g \mod q$，私钥为多项式 $f$、$f_p$ 和 $g$。
• 加密 ：假设消息 $m$ 是一个多项式，Alice 选择一个随机多项式 $r$，通常系数较小。加密方程为 $e = r h + m \mod q$。
• 解密 ：
  1. Bob 收到加密消息 $e$ 后，计算 $a = f e \mod q$。
  2. 计算 $b = a \mod p$。
  3. 最终得到消息 $m = f_p b \mod p$。

NTRU 有多个变体，其中两个变体通过了 NIST 寻找抗量子密码标准的第三轮评估。它还受到了多个标准的评估，并且有公开的开源库。虽然有对 NTRU 算法的密码分析研究，但大多基于实现层面的攻击，而不是基于其基础数学原理。

2.2 GGH

GGH 算法由 Oded Goldreich、Shafi Goldwasser 和 Shai Halevi 发明，是一种广泛研究的基于格的密码系统，于 1997 年首次公开描述。它是一种非对称算法，基于最近向量问题（CVP）。

2.2.1 密钥生成

• 私钥是格 $L$ 的基向量 $B$ 和幺模矩阵 $U$，基向量 $B$ 中的向量近乎正交。
• 公钥是同一格的另一个基 $B’ = UB$。

2.2.2 加密与解密

• 加密 ：消息 $M$ 是一个向量 $(m_1, \cdots, m_n)$，其中 $-M < m_i < M$。加密时，将消息向量乘以公钥 $B’$，得到 $v = \sum_{i} m_i b_i’$，然后加上误差校正向量 $e$，得到密文 $c = v + e$。
• 解密 ：将密文 $c$ 乘以 $B$ 的逆矩阵 $B^{-1}$，即 $M = c B^{-1}$。

虽然 GGH 算法易于理解且被广泛研究，但也有成功的密码分析攻击。例如，Lee 和 Hahn 在 2010 年证明了部分明文信息有助于解密 GGH 算法的密文。de Barros 和 Schechter 在 2015 年提出了对 GGH 的改进建议。此外，归零攻击对 GGH 的多个变体也取得了成功。

2.3 算法对比

算法	基础问题	安全性	性能	应用情况
NTRU	最短向量问题	未被证明易受量子攻击，数学原理较可靠	比 RSA 快	通过 NIST 部分评估，有多个标准关注，有开源库
GGH	最近向量问题	有成功的密码分析攻击	-	广泛研究，但存在安全隐患

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;

    A([开始]):::startend --> B(选择N, p, q):::process
    B --> C(生成f, g):::process
    C --> D{f有逆元?}:::process
    D -- 否 --> C
    D -- 是 --> E(计算fp, fq):::process
    E --> F(生成公钥h):::process
    F --> G(生成私钥f, fp, g):::process
    G --> H(选择消息m):::process
    H --> I(选择随机多项式r):::process
    I --> J(加密e = r * h + m mod q):::process
    J --> K(发送e给Bob):::process
    K --> L(计算a = f * e mod q):::process
    L --> M(计算b = a mod p):::process
    M --> N(计算m = fp * b mod p):::process
    N --> O([结束]):::startend

以上就是基于格的密码学的主要概念、数学问题和密码算法的介绍。这些算法在抗量子密码学领域具有重要的研究价值。

3. 格密码学的应用与挑战

3.1 实际应用领域

• 通信安全 ：在现代通信中，信息的保密性和完整性至关重要。基于格的密码算法，如 NTRU，由于其抗量子攻击的潜力，可用于保护通信链路，防止信息被窃取或篡改。例如，在卫星通信、军事通信等对安全性要求极高的场景中，格密码学可以提供更可靠的安全保障。
• 云计算 ：云计算环境中，数据通常存储在第三方服务器上，数据的安全性成为用户关注的焦点。格密码算法可以用于加密存储在云端的数据，使得即使服务器被攻击，攻击者也无法获取有价值的信息。同时，在云计算的计算过程中，格密码学还可以实现安全的多方计算，确保各方数据的隐私性。
• 物联网 ：物联网设备数量众多，且许多设备资源有限。基于格的密码算法具有计算效率高的特点，适合在物联网设备上运行。例如，智能家居设备、工业传感器等可以使用格密码算法进行身份认证和数据加密，保障物联网系统的安全。

3.2 面临的挑战

• 实现难度 ：虽然格密码算法在理论上具有良好的安全性和性能，但在实际实现中，需要处理复杂的数学运算，如多项式的乘法、求逆等。这些运算对计算资源和算法优化要求较高，增加了实现的难度。
• 标准化进程 ：目前，基于格的密码学还处于发展阶段，相关的标准尚未完全统一。不同的算法和实现可能存在兼容性问题，这给格密码学的推广和应用带来了一定的阻碍。
• 安全评估 ：随着密码分析技术的不断发展，对格密码算法的安全评估也面临着挑战。需要不断研究和改进安全评估方法，以确保格密码算法在各种攻击下的安全性。

3.3 未来发展趋势

• 算法优化 ：未来，研究人员将继续致力于格密码算法的优化，提高算法的计算效率和安全性。例如，通过改进多项式运算的算法、优化密钥生成过程等，降低算法的复杂度，提高其在实际应用中的性能。
• 多算法融合 ：为了提高密码系统的安全性和适应性，可能会将多种格密码算法或其他类型的密码算法进行融合。例如，将基于格的密码算法与传统的对称密码算法相结合，充分发挥各自的优势。
• 硬件实现 ：随着硬件技术的发展，将格密码算法在硬件上实现成为可能。硬件实现可以大大提高算法的执行速度，降低功耗，适用于对性能要求较高的应用场景。

4. 总结

4.1 主要内容回顾

本文介绍了基于格的密码学的主要内容，包括格的定义、相关的数学问题以及常见的密码算法。格可以从几何和群论两个角度进行定义，其上的数学问题如最短整数问题（SIS）、最短向量问题（SVP）和最近向量问题（CVP）是构建密码算法的基础。常见的基于格的密码算法有 NTRU 和 GGH，它们分别基于最短向量问题和最近向量问题，具有不同的特点和应用场景。

4.2 重要性与意义

基于格的密码学在抗量子攻击方面具有重要的潜力，为未来密码学的发展提供了新的方向。随着量子计算机技术的不断发展，传统的密码算法面临着被破解的风险，而格密码算法有望成为替代方案，保障信息安全。

4.3 展望

虽然基于格的密码学已经取得了一定的进展，但仍面临着许多挑战和机遇。未来，需要进一步加强理论研究和实际应用探索，推动格密码学的标准化和产业化发展，使其在更多领域发挥重要作用。

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;

    A([开始]):::startend --> B(选择消息M):::process
    B --> C(生成公钥B'):::process
    C --> D(生成私钥B, U):::process
    D --> E(加密v = M * B'):::process
    E --> F(加误差校正向量e):::process
    F --> G(得到密文c = v + e):::process
    G --> H(发送c给接收方):::process
    H --> I(计算M = c * B^-1):::process
    I --> J([结束]):::startend

以下是一个简单的总结表格，概括了基于格的密码学的核心要点：
| 类别 | 详情 |
| ---- | ---- |
| 格的定义 | 几何角度：n 维空间中具有周期性结构的点集；群论角度：$\mathbb{R}^n$ 群的子群，与 $\mathbb{Z}^n$ 同构 |
| 数学问题 | 最短整数问题（SIS）、最短向量问题（SVP）、最近向量问题（CVP）及其变体 |
| 密码算法 | NTRU（基于最短向量问题）、GGH（基于最近向量问题） |
| 应用领域 | 通信安全、云计算、物联网等 |
| 挑战与趋势 | 实现难度、标准化进程、安全评估；算法优化、多算法融合、硬件实现 |

通过对基于格的密码学的深入了解，我们可以更好地应对未来信息安全领域的挑战，为构建更加安全可靠的信息系统提供有力支持。