带权中位数（变化量）

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/20960/1013
结论：按位置排好序后对人数做前缀和，人数恰好超过总人数一半的位置就是距离最小的点。
证明：假设不是，向左移动一格，左边的人少移动一格，右边的人多移动一格，但左边的人的数量小于人数的一半，右边的人数量多于人数的一半，显然不是更优解；同理，向右移动一格，右边的人少移动一格，左边的人多移动一格，此时左边的人多于人数的一半，右边的人小于人数的一半，也不是更优解，因此结论得证。

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define pii pair<int,int>

using namespace std;

const int maxn = 2e5+3;

struct person
{
    int loc,number,cnt;
};

bool cmp(person x,person y)
{
    return x.loc<y.loc;
}

person p[maxn];

void solve()
{
    int n; cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    cin>>p[i].loc;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    cin>>p[i].number;
    int sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    sum+=p[i].number,p[i].cnt=i;
    sort(p+1,p+1+n,cmp);
    int temp=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        temp+=p[i].number;
        if(temp>=sum/2)
        {
            cout<<p[i].cnt<<endl;
            return ;
        }
    }
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    int T; T=1;
    while(T--) solve();
    return 0;

}

非结论做法
先假设第一个点是集合点，算出对应的距离，记作 $dis[1]$，那么 $dis[2]=dis[1]+前面的人\ast 多走的-后面的人\ast 少走的$，把每个点作为集合点对应的距离都找出来找出最小的即可，这样需要维护一个人数的前缀和数组。

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define pii pair<int,int>
#define int long long 

using namespace std;

const int maxn = 2e5+3;

struct person
{
    int loc,number,cnt;
};

bool cmp(person x,person y)
{
    return x.loc<y.loc;
}

person p[maxn];
int prefix[maxn],dis[maxn];

void solve()
{
    int n; cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    cin>>p[i].loc;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    cin>>p[i].number;
    int sum=0;
    sort(p+1,p+1+n,cmp);
    // 维护人数的前缀和
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        prefix[i]=prefix[i-1]+p[i].number;
    }
    int min_s=0;
    int s=0;
    // 先假设1号点为集合点，计算距离
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        min_s+=p[i].number*(p[i].loc-p[1].loc);
    }
    dis[1]=min_s;
    // 依次将其他节点作为集合点，利用变化量求解新的距离，得到最优答案
    int ans=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        dis[i]=2*prefix[i-1]+dis[i-1]-prefix[n];
        if(min_s>dis[i])
        {
            min_s=dis[i];
            ans=i;
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
}

signed main()
{

    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    int T; T=1;
    while(T--) solve();
    return 0;

}