洛谷P1005 [NOIP2007 提高组] 矩阵取数游戏

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#矩阵 #游戏 #算法

于 2022-07-18 13:44:19 首次发布

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本文解析了NOIP2007提高组中关于矩阵取数游戏的解题思路，使用区间动态规划方法，针对非负整数矩阵，计算最优得分策略，关键在于从大区间到小区间的状态转移和高精度计算。通过实例和代码展示了如何处理高精度计算并求解最大得分。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

[NOIP2007 提高组] 矩阵取数游戏

题目描述

帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的 $\times m$ 的矩阵，矩阵中的每个元素 $a_{i,j}$ 均为非负整数。游戏规则如下：

每次取数时须从每行各取走一个元素，共 $n$ 个。经过 $m$ 次后取完矩阵内所有元素；
每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值 $×2i\times 2^i$ ，其中 $i$ 表示第 $i$ 次取数（从 $1$ 开始编号）；
游戏结束总得分为 $m$ 次取数得分之和。

帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

输入格式

输入文件包括 $n + 1$ 行：

第一行为两个用空格隔开的整数 $n$ 和 $m$ 。

第 $2∼n+12\sim n+1$ 行为 $\times m$ 矩阵，其中每行有 $m$ 个用单个空格隔开的非负整数。

输出格式

输出文件仅包含 $1$ 行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。

样例 #1

样例输入 #1

2 3
1 2 3
3 4 2

样例输出 #1

提示

【数据范围】

对于 $60%60\%$ 的数据，满足 $1≤n,m≤301\le n,m\le 30$ ，答案不超过 $10^{16}$ 。
对于 $100%100\%$ 的数据，满足 $1≤n,m≤801\le n,m\le 80$ ， $0≤ai,j≤10000\le a_{i,j}\le1000$ 。

【题目来源】

NOIP 2007 提高第三题。

思路

本题用区间dp解决
考虑到每行数字互不相干，可以把每行依次解决后相加
每行用区间dp，由于本题特殊性，可以从大区间推到小区间
在区间 $[i, j]$ 时，从区间 $[i - 1, j]$ 和 $[i, j + 1]$ 来
此时选中的数字是第 $m + i - j - 1$ 个（自行推导）
于是状态转移方程便是
$dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+2^{m+i-j+1}*a[i-1],dp[i][j+1]+2^{m+i-j+1}*a[j+1])$

注意本题需用高精
~~我用__int128水过了~~
还有pow的精度问题，不要用pow，自己预处理2的几次方

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
int n,m;
__int128 a[100];
__int128 dp[100][100],ans2,base[200];
inline __int128 read(){
    __int128 x = 0, f = 1;
    char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9'){
        if(ch == '-')
            f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while(ch >= '0' && ch <= '9'){
        x = x * 10 + ch - '0';
        ch = getchar();
    }
    return x * f;
}
inline void print(__int128 x){
    if(x < 0){
        putchar('-');
        x = -x;
    }
    if(x > 9)
        print(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}
void init() {
	base[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= m + 2; i++)
		base[i] = base[i - 1] * 2;
}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	init();
	while(n--){
		memset(dp,0,sizeof(dp));
		for(int i=1;i<=m;i++)
			a[i]=read();
		for(int i=1;i<=m;i++)
			for(int j=m;j>=1;j--){
				dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j]+base[m-j+i-1]*a[i-1]);
				dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j+1]+base[m-j+i-1]*a[j+1]);
			}
		__int128 ans=0;
		for(int i=1;i<=m;i++)
			ans=max(ans,dp[i][i]+base[m]*a[i]);
		ans2+=ans;
	}
	print(ans2);
	return 0;
}