2019_GDUT_新生专题IV数论 F

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本文探讨了Vjudge网上的经典算法题“青蛙的约会”，通过数学方法解析了两个在环上移动的点何时何地能相遇的问题。利用等式转换和扩展欧几里得算法，文章详细解释了如何找到最小的正数解。

题目：青蛙的约会

题目链接：https://vjudge.net/contest/351853#problem/F

题目描述：
一个L长的环上有两个点（x,y），它们每次往一个方向移动m,n
问是否可以相遇，如果可以，那么是第几次移动。

题目分析：
由关系可以列等式：(x+km)%L=(y+kn)%L,
移项得x-y=k(n-m)+pL
也就是求ax+by=c对于x的最小正数解。

步骤1：先求ax+by=gcd(a,b)的一个特解（x0,y0）
步骤2：判断c是否是gcd(a,b)的倍数，而知有无解。
步骤3：如果有解，把x0与y0乘上c/gcd(a,b),得到ax+by=c的一个特解。
步骤4：x0对b/gcd(a,b)取模（小心x0为负数）可得x0的最小正数解（暂时不讨论原因）。
代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <iostream>
using namespace std;
long long exgcd(long long a,long long b,long long &c,long long &d)
                        //先求个ax+by=gcd(a,b)的特解
{
   long long k=a;
   if(b)
   {
       k=exgcd(b,a%b,d,c);
       d-=(a/b)*c;
   }
   else
   {
       c=1;
       d=0;
   }
   return k;
}
int main()
{
    long long x,y,m,n,L,e,f,g,h,x0,y0;
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&L);
    f=x-y;
    g=n-m;
    if(g<0) {f=-f;g=-g;}  //使a保持为正
    e=exgcd(g,L,x0,y0);   //求ax+by=gcd(a,b)一个特解
    if(f%e)
    {
        printf("Impossible\n");
    }
    else
    {
        h=L/e;
        x0*=f/e; //转换为ax+by=c的特解
        x0=(x0%h+h)%h;//找最小正数解
        printf("%lld\n",x0);
    }
    return 0;
}