2019_GDUT_新生专题IV数论 J

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本文探讨了如何使用快速幂算法解决大规模组合数求和问题，通过对费马小定理的应用，有效地解决了当N值过大时的计算难题。

题目：Sum

题目链接：https://vjudge.net/contest/351853#problem/J

题目描述：S（k）表示由k个正整数相加成N的组合方式数。
给出N后，求S（1）+S（2）+…+S(N).（mod1e9+7）

题目分析：因为S（K）=C（N-1，k-1）（由规律），则其累加为
C（N-1，0）+C（N-1，1）+…+C(N-1,N-1)=2^(N-1)。
但N给的值实在太大，所以要先化简.由费马小定理知
2^(1e9+6)=1(mod1e9+7) 所以对指数取模。指数可以从高位开始取模。最终指数依然很大，不过可以用快速幂解决。

代码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int p=1000000007;
long long qsm(long long x,long long y)//快速幂
{
    long long z=1;
    while(y)
    {
        if(y&1){z*=x;z%=p;}
        x*=x;
        x%=p;
        y>>=1;
    }
    return z;
}
int main()
{
    char a;
    long long num;
    int q=p-1;
    while(1)
    {num=0;//归零
        while(1)
    {
        a=getchar();
        if(a=='\n') break;
        if(a==EOF) return 0;
        num=num*10+a-'0';//一边输入一边计算
        num%=q;
    }
    printf("%lld\n",qsm(2,num-1));//快速幂得结果
    }
    return 0;
}