区间DPの矩阵取数游戏

试题来源

　　NOIP2007 提高组

问题描述

　　帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的n*m的矩阵，矩阵中的每个元素a_ij均为非负整数。游戏规则如下：
　　1. 每次取数时须从每行各取走一个元素，共n个。m次后取完矩阵所有元素；
　　2. 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
　　3. 每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值*2ⁱ，其中i表示第i次取数（从1开始编号）；
　　4. 游戏结束总得分为m次取数得分之和。
　　帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

输入格式

　　输入包括n+1行：
　　第1行为两个用空格隔开的整数n和m。
　　第2~n+1行为n*m矩阵，其中每行有m个用单个空格隔开的非负整数。

输出格式

　　输出包含1行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。

样例输入

2 3
1 2 3
3 4 2

样例输出

82

样例输入

1 4
4 5 0 5

样例输出

122

样例输入

2 10
96 56 54 46 86 12 23 88 80 43
16 95 18 29 30 53 88 83 64 67

样例输出

316994

数据规模和约定

　　60%的数据满足：1<=n, m<=30, 答案不超过10¹⁶

　　100%的数据满足：1<=n, m<=80, 0<=a_ij<=1000。

说明：看了别人的解题报告，自己再整理一下。

区间动态规划：

取走一个数后，剩下的是一个区间，并且区间长度越来越小，所以外循环可以按区间长度递增的方式

如下：

for (int j=1;j<=m-1;j++)//区间长度   
        {  
            for (int k=1;k<=m-j;k++)//起点  
            {  
                int l=k+j;  
                f[k][l] = max(a[k]  + 2 * f[k+1][l], a[l] + 2 * f[k][l-1]);  

根据示例2

4 5 0 5

ans=2*f[1][4]
      =2*(2*f[1][3]+a[4])
      =2*(2*(2*f[1][2]+a[3])+a[4]) 
      =2*(2*(2*(2*f[2][2]+a[1])+a[3])+a[4])
      =2*(2*(2*(2*a[2]+a[1])+a[3])+a[4])
       

// f[j][j]=a[j]

二维图形，左上角矩阵