上节课剩下的内容In-Plane behavior
3.3 Brittle crushing
假设在1方向上受力,算得在1方向上的等效断裂应力
断裂力矩由边缘强度达到断裂强度时,可算得:
Mf=(12t2σfsb)(23t)=σfsb26其中,σfs是断裂强度,又Mapp=Plsinθ2=σ1∗(h+lsinθ)b∗lsinθ2∴由Mapp=Mf可得:(σcr∗)1=σfs(tl)213(h/l+sinθ)sinθ
M_f=(\frac{1}{2}\frac{t}{2}\sigma_{fs}b)(\frac{2}{3}t)=\frac{\sigma_{fs}b^2}{6}\\
其中,\sigma_{fs}是断裂强度,\\
又M_{app}=\frac{Plsin\theta}{2}=\frac{\sigma_1*(h+lsin\theta)b*lsin\theta}{2}\\
\therefore由M_{app}=M_f\\
可得:(\sigma_{cr}^*)_1=\sigma_{fs}(\frac{t}{l})^2\frac{1}{3(h/l+sin\theta)sin\theta}
Mf=(212tσfsb)(32t)=6σfsb2其中,σfs是断裂强度,又Mapp=2Plsinθ=2σ1∗(h+lsinθ)b∗lsinθ∴由Mapp=Mf可得:(σcr∗)1=σfs(lt)23(h/l+sinθ)sinθ1
特殊地,对于正六边形:
(σcr∗)1=49σfs(tl)2
(\sigma_{cr}^*)_1=\frac49 \sigma_{fs}(\frac{t}{l})^2
(σcr∗)1=94σfs(lt)2
1 受拉
- 弹性模量和压缩差不多
- 没有弹性buckling
- 塑性应力平台和受压时候差不多,如果忽略细微的几何差异(即受压后另一方向的膨胀和受拉时另一方向的收缩)
- 脆性多孔材料有快速断裂(fast fracture)
Assumption
-
假设裂缝相比细胞几何结构远大于,使其可以应用连续假设。
-
axial forces可以被忽略
-
断裂模量是常量
连续性假设,得到的,若在连续介质中发生了2c长度的裂缝,局部应力的计算方法,如下图所示:
不太能理解这个式子的来源和物理含义,如果r=0,即断裂端,岂不是无穷大?
2 三角形材料-inplane
-
类似桁架的结构
-
可以假设是通过铰接连着的,在节点处没有力矩
-
只有轴向力
推导过程有点迷,就只放一个结果了,推导大概在视频29分钟左右
E∗∝CEs(tl),C为与几何形状相关的常数对于正三角形,C=1.15
E^*\propto CE_s(\frac{t}l),C为与几何形状相关的常数\\
对于正三角形,C=1.15
E∗∝CEs(lt),C为与几何形状相关的常数对于正三角形,C=1.15
值得注意的是,这里没有三次方,六边形时候有三次方。
3 面外性质
孔隙壁在x3x_3x3方向上受力时,受力情况为直接受压或者受拉,在这个方向上具有更高的强度。
基本假设:Linear elastic deformation,有5个弹性常数
3.1 杨氏模量
在这个方向上受压受拉比较简单,直接用面积系数即可
E3∗=Es(ρ∗ρs)=Es(tl)hl+22(hl+sinθ)cosθ
E_3^*=E_s(\frac{\rho^*}{\rho_s})=E_s(\frac{t}l)\frac{\frac{h}{l}+2}{2(\frac{h}l+sin\theta)cos\theta}
E3∗=Es(ρsρ∗)=Es(lt)2(lh+sinθ)cosθlh+2
3.2 泊松比Poisson’s ratio
γ31∗=γ32∗=γs,note:γij∗=−ϵjϵi \gamma_{31}^*=\gamma_{32}^*=\gamma_{s},note:\gamma_{ij}^*=-\frac{\epsilon_j}{\epsilon_i} γ31∗=γ32∗=γs,note:γij∗=−ϵiϵj
而γ13∗\gamma_{13}^*γ13∗和γ23∗\gamma_{23}^*γ23∗可以根据reciprocal relationship推导得到:
γ13∗E1∗=γ31∗E3∗∴γ13∗=γ31∗E1∗E3∗=γsc1Es(tl)3c2Es(tl)≈0,if(tl)is−small
\frac{\gamma_{13}^*}{E_1^*}=\frac{\gamma_{31}^*}{E_3^*}\\
\therefore\gamma_{13}^*=\gamma_{31}^*\frac{E_1^*}{E_3^*}=\gamma_s \frac{c_1E_s(\frac{t}l)^3}{c_2E_s(\frac{t}{l})}\approx0,if (\frac{t}l)is-small
E1∗γ13∗=E3∗γ31∗∴γ13∗=γ31∗E3∗E1∗=γsc2Es(lt)c1Es(lt)3≈0,if(lt)is−small
3.3 剪切模量Shear moduli
受力:孔隙壁受到剪切力的作用
约束:会受到周围孔隙壁的约束,产生非均匀的应力分布
估计式:
G13∗=Gstlcosθhl+sinθ=13Gs(tl)对于正六边形
G_{13}^*=G_s\frac{t}l\frac{cos\theta}{\frac{h}l+sin\theta}=\frac1{\sqrt3}G_s(\frac{t}{l})对于正六边形
G13∗=Gsltlh+sinθcosθ=31Gs(lt)对于正六边形
准确的计算课程里不涉及。
3.4 压缩强度Compressive strength,弹性屈曲Elastic buckling
受力分析,右图为取出其中一个壁的受力,作为一个平板屈曲进行进一步的分析:
对于平板屈曲plate buckling,由欧拉定律:
Pcr=KEst3(1−γs2)h,K末端约束系数,取决于邻近壁的刚度(stiffness)
P_{cr}=\frac{KE_st^3}{(1-\gamma_s^2)h},K末端约束系数,取决于邻近壁的刚度(stiffness)
Pcr=(1−γs2)hKEst3,K末端约束系数,取决于邻近壁的刚度(stiffness)
近似计算的思路,如果两端壁是(简支,可以自由旋转,b>3L)pin-connect,则有K1=2.0,如果是固定约束,则有K2=6.2,我们则近似取一个之间的数值即可,例如K=4.0。
下面计算此时的应力,作为屈曲强度。
Ptotal=∑Pcr,每个孔隙里有h+2l(σel∗)≈Es1−γs2(tl)32(lh)+2(hl+sinθ)cosθ对于正六边形(σel∗)3=5.2Es(tl)3
P_{total}=\sum P_{cr},每个孔隙里有h+2l\\
(\sigma_{el}^*)\approx \frac{E_s}{1-\gamma_s^2}(\frac{t}{l})^3\frac{2(\frac{l}h)+2}{(\frac{h}l+sin\theta)cos\theta}\\
对于正六边形
(\sigma_{el}^*)_3=5.2E_s(\frac{t}l)^3\\
Ptotal=∑Pcr,每个孔隙里有h+2l(σel∗)≈1−γs2Es(lt)3(lh+sinθ)cosθ2(hl)+2对于正六边形(σel∗)3=5.2Es(lt)3
3.5 Compressive strength,塑性屈服plastic collapse
失效可能会由于单向屈服产生:(σpl∗)3=σys(ρ∗ρs)(\sigma_{pl}^*)_3=\sigma_{ys}(\frac{\rho^*}{\rho_s})(σpl∗)3=σys(ρsρ∗)
但,在压缩时,通常会先发生塑性屈曲elastic buckling。
近似计算:
内力做功
plastic moment做功:让plastic hinge旋转了π\piπ的角度,塑性力矩为MP=σyst24(2l+h)M_P=\frac{\sigma_{ys}t^2}{4}(2l+h)MP=4σyst2(2l+h)
2l+h会因为每一个孔隙,平均下来具有一条垂直边,两条斜边。
所以内部塑性变形的做功为MP∗πM_P*\piMP∗π
外力做功
Wexternal=Pλ2λ是屈曲的半波长,近似等于lP=σ3(h+lsinθ)(2lcosθ),这里的来源类似于均摊面积 W_{external}=\frac{P\lambda}{2}\\ \lambda是屈曲的半波长,近似等于l\\ P=\sigma_3(h+lsin\theta)(2lcos\theta),这里的来源类似于均摊面积 Wexternal=2Pλλ是屈曲的半波长,近似等于lP=σ3(h+lsinθ)(2lcosθ),这里的来源类似于均摊面积
外力==内力做功
建立等式,可以求得:
(σpl∗)3=π4σys(tl)2hl+2(hl+sinθ)cosθ对于正六边形:(σpl∗)3≈2σys(tl)2准确计算的结果:(σpl∗)3=5.6σys(tl)5/3
(\sigma_{pl}^*)_3=\frac{\pi}{4}\sigma_{ys}(\frac{t}{l})^2\frac{\frac{h}l+2}{(\frac{h}l+sin\theta)cos\theta}\\
对于正六边形:(\sigma_{pl}^*)_3\approx2\sigma_{ys}(\frac{t}l)^2\\
准确计算的结果:(\sigma_{pl}^*)_3=5.6\sigma_{ys}(\frac{t}{l})^{5/3}
(σpl∗)3=4πσys(lt)2(lh+sinθ)cosθlh+2对于正六边形:(σpl∗)3≈2σys(lt)2准确计算的结果:(σpl∗)3=5.6σys(lt)5/3
近似计算与准确计算的指数差异来源于周围的约束的细致化。
3.6 Brittle fracture 脆性断裂(受拉)
如果无缺陷,单向受拉,则:
(σf∗)3=(ρ∗ρs)σfs
(\sigma_f^*)_3=(\frac{\rho^*}{\rho_s})\sigma_{fs}
(σf∗)3=(ρsρ∗)σfs
然后接了这样一段描述,没太理解是在说什么(大概实在描述如果有裂纹的时候的变化吧):
3.7 Brittle crushing 脆性碎裂(受压)
σcs\sigma_{cs}σcs是孔隙壁的压缩强度
(σcr∗)3=(ρ∗ρs)σcs
(\sigma_{cr}^*)_3=(\frac{\rho^*}{\rho_s})\sigma_{cs}
(σcr∗)3=(ρsρ∗)σcs
对于脆性材料,断裂强度约为12倍的开裂强度σcs≈12σfs\sigma_{cs} \approx 12 \sigma_{fs}σcs≈12σfs
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开始讲一些自然蜂窝材料(wood and cork),并用之前的这些模型去理解这些他们表现出来的性质