树干的结构,木头的密度从5%(balsa)~80%(for lignum vitae)
“materials” is from Latin “materies, materia”, means wood, trunk of tree.
木头内的结构组成
In softwood:
tracheids: bulk of cells(90%), provide structure support, have holes in cell wall for fluid transport called pits, 2.5~7.0mm long, 20~80 μm across, t= 2~7μm
rays:arrays o parenchyma cells that store sugar
Hardwoods:
fibers:provide structural support, (35%~70% of the cells)
vessels: sap channels, provide conduction of fluids(6~55%)
rays: store sugar, (10~30%)
孔壁结构:
- 4层由纤维cellulose组成的结构
- S2承担了主要的轴向负载
- 一般认为是纤维增强复合物
孔壁的力学性质:
指组成木头的固体,(应该类似于指纤维素增强复合物的性质吧)
ρs=1500kg/m3ESA=35GPaEST=10GPaσySA=350MPaσyST=135MPaA=axial,T=transverse
\rho_s=1500kg/m^3\\
E_{SA}=35 GPa\\
E_{ST} = 10GPa\\
\sigma_{ySA}=350MPa\\
\sigma_{yST}=135MPa\\
A = axial,T=transverse
ρs=1500kg/m3ESA=35GPaEST=10GPaσySA=350MPaσyST=135MPaA=axial,T=transverse
和纤维素的性能进行对比:
E≈140GPaσy≈750MPa
E\approx140GPa\\
\sigma_y \approx 750MPa
E≈140GPaσy≈750MPa
木头的应力应变曲线
横向(左)和轴向(右)上,对不同木头进行加压的应力应变曲线:
可以看到和蜂窝材料很类似,都有plateau平台,轴向更强
机械性能与相对密度的关系
轴向方向,杨氏模量和相对密度线性相关递增,强度也是线性
横向方向,杨氏模量和相对密度3次方递增,强度则是平方
而对于泊松比:
γRT∗=0.5−0.8,γTR∗=0.2−0.6γRA∗=0.02−0.07,γAR∗=0.25−0.5,γTA∗=0.01−0.04,γAT∗=0.35−0.5
\gamma_{RT}^*=0.5-0.8,
\gamma_{TR}^*=0.2-0.6\\
\gamma_{RA}^*=0.02-0.07,\gamma_{AR}^*=0.25-0.5,\\
\gamma_{TA}^*=0.01-0.04,\gamma_{AT}^*=0.35-0.5
γRT∗=0.5−0.8,γTR∗=0.2−0.6γRA∗=0.02−0.07,γAR∗=0.25−0.5,γTA∗=0.01−0.04,γAT∗=0.35−0.5
Modelling Wood Properties
基于简化模型,给出一阶近似的结果*(这个一阶是怎么来的)*
横向负载
对于横向载荷,即模拟蜂窝材料的面内性质,孔隙壁(cell-wall)受力弯曲ET∗/Es∝(ρ∗/ρs)3E_T^*/E_s \propto (\rho^*/\rho_s)^3ET∗/Es∝(ρ∗/ρs)3
但rays和end caps会有增强作用,因此强度会比上述曲线稍高
radial loading
rays作为强化板,密度略高于纤维。
VRV_RVRrays细胞的体积分数,
R=(ρ∗/ρs)rays)/(ρ∗/ρs)R=(\rho^*/\rho_s)_{rays})/ (\rho^*/\rho_s)R=(ρ∗/ρs)rays)/(ρ∗/ρs)
ER∗=VRR3ET∗+(1−VR)ET∗≈1.5ET∗E_R^*=V_RR^3E_T^*+(1-V_R)E_T^* \approx 1.5E_T^*ER∗=VRR3ET∗+(1−VR)ET∗≈1.5ET∗
依然和密度成三次方关系
轴向负载
结论如之前说过一样,杨氏模量随着密度线性增加
泊松比
模型给出的对于,RT和TR方向都是1,实际比模型略小,老师认为是rays 和 endcaps给了一点约束
模型给出的关于RA和TA方向都是0
AR和AT方向都是与固体材料相同
压缩强度
横向负载时,模拟plastic hinges下的孔壁弯曲,σ∗/σYS∝(ρ∗/ρs)2\sigma^*/\sigma_{YS}\propto (\rho^*/\rho_s)^2σ∗/σYS∝(ρ∗/ρs)2
对于radial loading,σR∗=VRR2σT∗+(1−VR)σT∗\sigma_R^*=V_RR^2\sigma_T^*+(1-V_R)\sigma_T^*σR∗=VRR2σT∗+(1−VR)σT∗,E.X.:而对于Balsa(美洲轻木),VR≈0.14,R≈2,∴σR∗=1.4σT∗V_R\approx0.14, R\approx2, \therefore \sigma_R^*=1.4\sigma_T^*VR≈0.14,R≈2,∴σR∗=1.4σT∗
对于轴向载荷,如果是首先由于屈服而失效的,则和密度线性相关。
材料选择
Q:给定一根正方形形截面梁的刚度,长度,选择什么材料可以最小化梁的质量?
m=ρt2l挠度δ=Pl3CEI∴Pδ=CEt4l3∴t=[(Pδ)l3CE]1/2∴m=ρ[(Pδ)l3CE]1/2l
m=\rho t^2l\\
挠度\delta=\frac{Pl^3}{CEI}\\
\therefore \frac{P}{\delta}=\frac{CEt^4}{l^3}\\
\therefore t =[(\frac{P}\delta)\frac{l^3}{CE}]^{1/2}
\therefore m=\rho[(\frac{P}\delta)\frac{l^3}{CE}]^{1/2}l
m=ρt2l挠度δ=CEIPl3∴δP=l3CEt4∴t=[(δP)CEl3]1/2∴m=ρ[(δP)CEl3]1/2l
所以要质量最小化,就是要最小化
INDEX=ρE0.5
INDEX=\frac{\rho}{E^{0.5}}
INDEX=E0.5ρ
左图中,红线表示了所有具有相同的INDEX的材料,因此,左上角的直线表示了具有较高性能的材料,包括陶瓷材料、工程复合物(碳纤维复合增强之类)和木材。
右式通过定性的等式描述,给出了木头的多孔结构的等效INDEX,大于制备的固体性质本身,因为小括号内的那一项大于1
而对于同样的梁,如果要保证的值为强度σf\sigma_fσf
则要最小化(σf∗)2/3ρ∗\frac{(\sigma_f^*)^{2/3}}{\rho^*}ρ∗(σf∗)2/3
总结来说,这堂课主要是通过木材这种材料,对之前推导的简单近似进行了实际应用,主要是为了看出变化的关系与趋势,例如与相对密度之间的关系,这个模型不能用于实际准确计算一块木头的性能,更多是用于材料的选择。