47、数字平面中的内接正方形猜想

数字平面中的内接正方形猜想

1. 引言

在平面几何中，有一个自 1911 年以来一直悬而未决的问题——内接正方形猜想。该猜想指出，任何平面约旦曲线（简单闭合曲线）都包含某个非退化正方形的四个顶点。这里的“非退化”意味着正方形的顶点是不同的点。

虽然这个猜想很容易理解，但即使对于简单的约旦曲线，找到其解决方案也并非易事。多年来，人们进行了多次尝试，但问题仍然没有得到解决。不过，也有一些重要的成果被发表：
- 定理 1 ：如果约旦曲线 J 关于点 c 对称，并且从 c 发出的每条射线与 J 相交于一个单点，那么 J 存在一个内接正方形。
- 定理 2 ：每个凸约旦曲线都存在一个内接正方形。

然而，最引人注目的结果来自 Stromquist。在介绍这个结果之前，我们需要先了解一个初步的定义。

1.1 局部单调曲线的定义

在二维平面 (R^2) 中，简单闭合曲线 ω 是局部单调的，如果对于曲线上的每个点 p，都存在一个实数 (\epsilon > 0) 和一个非零向量 (n(p))，使得对于 (B(p, \epsilon) \cap \omega)（这里 (B(p, \epsilon)) 表示以 p 为中心、半径为 (\epsilon) 的开球）中的任意两个不同点 (p_1) 和 (p_2)，等式 (p_1 - p_2 = \lambda n(p)) 对于任何 (\lambda \in R) 都不成立。换句话说，包含在 (B(p, \epsilon)) 内的 ω 的任何弦都不与 (n(p)) 平行。

以下是这个定义的直观解释