15、基于POD的增广拉格朗日方法求解状态约束最优控制问题

基于POD的增广拉格朗日方法求解状态约束最优控制问题

1. 引言

在能源高效建筑的背景下，我们关注具有双边控制和状态约束的对流 - 扩散方程的最优控制问题。这里，抛物方程的解代表房间内的温度，加热器被视为边界控制。为解决此问题，我们采用增广拉格朗日方法，它是一种惩罚方法，通过迭代求解多个仅含控制约束的最优控制问题来处理状态约束。对于方程的数值求解，我们结合了Galerkin有限元逼近和隐式Euler时间格式，并基于POD构建降阶模型以加速最优解的计算。

2. 最优控制问题

考虑时间区间为 $[0, T]$（$T > 0$）的最优控制问题。设 $\Omega \subset R^d$（$d \in {2, 3}$）是具有Lipschitz连续边界 $\Gamma = \partial \Omega$ 的有界区域，$\partial \Omega$ 被划分为两个不相交的子集 $\Gamma_c$ 和 $\Gamma_o$，且 $\Gamma_c$ 的Lebesgue测度非零。定义 $Q = (0, T) \times \Omega$，$\Sigma_c = (0, T) \times \Gamma_c$，$\Sigma_o = (0, T) \times \Gamma_o$。设 $H = L^2(\Omega)$，$V = H^1(\Omega)$，$U = L^2(0, T; R^m)$。引入Hilbert空间：
$W(0, T) = { \phi \in L^2(0, T; V) | \phi_t \in L^2(0, T; V’) }$
其中 $V’$ 是 $V$ 的对偶空间。考虑如下经济最优控制问题：
$\min J(z) = \fra