14、嵌入式移位边界有限元法的降阶方法及相关应用

嵌入式移位边界有限元法的降阶方法及相关应用

1. 降阶建模基础

在参数化几何的降阶建模中，我们可以通过一些方法构建低维空间来近似高维问题的解，从而提高计算效率。这里涉及到相关矩阵和基函数的构建。

1.1 相关矩阵与基函数

从快照矩阵 (S) 出发可以得到相关矩阵 (C)，同时存在特征向量方阵 (Q) 和特征值对角矩阵 (\lambda)。基函数可以通过以下公式得到：
(\phi_i = \frac{1}{N_s\lambda_{ii}^{1/2}}\sum_{j = 1}^{N_s}T_jQ_{ij})
这里 (N_s) 是快照的数量，(T_j) 是快照中的元素，(Q_{ij}) 是特征向量矩阵 (Q) 的元素。

1.2 POD 空间的构建

基于上述基函数，我们可以构建 POD 空间 (L)：
(L = [\phi_1, \ldots, \phi_{N_r}] \in \mathbb{R}^{N_h\times N_r})
其中 (N_r < N_s)，(N_r) 的选择根据特征值矩阵 (\lambda) 的特征值衰减情况来确定。

2. 与参考域方法的主要区别

传统的降阶建模方法通常需要将所有参数化几何映射到一个共同的参考域，但本文提出的嵌入式方法则无需这样做。

2.1 线性和双线性形式的变换

在参考域设置和具有齐次狄利克雷边界条件的共形经典有限元方法表述中，方程的线性和双线性形式会发生变换：
(\tilde{a}(w, T; \mu) = \tilde{\ell}(w; \mu))