21、非线性ODE模型过近似的高效算法方法及案例分析

非线性ODE模型过近似的高效算法方法及案例分析

1. 引言

在处理非线性常微分方程（ODE）模型的过近似问题时，尽管已经付出了很多努力，但计算上仍然具有挑战性。本文提出了一种结合微分不等式理论和非线性模型约简的高效算法方法，用于对非线性ODE模型进行过近似。通过设定一个数值阈值参数来强制模型参数的同质性，该算法构建了一个微分不等式系统，既能保证在存在不确定或噪声参数时对原始ODE系统进行过近似，又能在参数同质的情况下进行约简，同时保留过近似的特性。为了验证该方法的适用性，我们将其与已有的过近似工具CORA在多个不同领域的模型上进行了比较。

2. 方法概述

允许0.1的扰动，考虑不确定性范围[1.0; 1.2]，这代表了微分包络所考虑的所有可能参数的集合。通过CORA计算边界，在某些示例中，本文方法和CORA提供的边界几乎相同，但后续案例将显示CORA往往能给出更紧密的边界，但需要更多的时间和空间。

3. 案例研究

3.1 SIR模型

SIR模型描述了感染在由易感者（S）、感染者（I）和康复者（R）组成的人群中的传播。模型有感染率β和康复率γ两种参数，具体采用的多类SIR模型方程如下：
- $\dot{S_i} = \sum_{j=1}^{N} -S_i\beta_{i,j}I_j$
- $\dot{I_i} = -\gamma_iI_i + \sum_{j=1}^{N} S_i\beta_{i,j}I_j$
- $\dot{R_i} = \gamma_iI_i$

其中，$\beta_{i,j}$表示跨类感染率。为保证各模型类别的一致性，设定异质性水平$\the