11、参数化常微分方程模型的端到端统计模型检查

参数化常微分方程模型的端到端统计模型检查

1. 引言

在解决实际问题时，常微分方程（ODE）模型有着广泛的应用。为了让模型更好地拟合实验数据，我们需要找到合适的参数值。本文将介绍一种创新的模型检查框架，适用于 ODE 的连续动态系统，并提供相关的统计保证。

2. 背景和符号说明

2.1 ODE 预备知识

考虑如下形式的常微分方程：
[
\frac{dz}{dt}(t) = f(z(t), \lambda), \quad t > 0
]
其中，未知函数 (z) 定义在 (R^+) 上，取值于 (R^n)；(\lambda \in R^m) 是参数向量；(f) 是定义在 (R^n\times R^m) 上取值于 (R^n) 的函数。固定初始条件 (z_0 \in R^n)，当 (f) 在 (R^n \times R^m) 上是 (C^1) 时，该柯西问题有唯一解，记为 (z_{\lambda}(t))，假设其定义在 ([0, T]) 上（(T > 0)）。

假设参数向量 (\lambda) 的分量 (\lambda_j) 满足 (\lambda_j \in [L_{\lambda_j}, U_{\lambda_j}])，定义紧凑集：
[
W = \prod_{j = 0}^{m} [L_{\lambda_j}, U_{\lambda_j}]
]
[
INIT = {z_0} \times W
]

假设方程的轨迹从 (z_0) 出发有一个矩形不变区域，即 (z_i(t, \lambda) \in [L_i,