41、拟阵理论与存储码：界限与构造

拟阵理论与存储码：界限与构造

1. 随机码设计

设计具有指定参数的 $(n, k, d, r, δ)$ - 局部可修复码（LRC）的一种替代方法是利用独立性这一性质。在大域上，向量的 $r$ 元组和 $k$ 元组的独立性是一种通用属性，这使得我们在规定了码的拟阵结构后，能够直接使用随机性来生成 $(n, k, d, r, δ)$ - LRC。

1.1 域大小要求

我们考虑固定但足够大的域大小 $q$，满足：
$q > (rδ)^{4r}r\left(n + (rδ)(r - 1)^{4r}\frac{1}{k - 1}\right)$

1.2 码的构造

对于给定的 $(n, k, r, δ)$，我们构造的 $(n, k, d, r, δ)$ - LRC 满足：
$d \geq n - k + 1 - \left\lfloor\frac{k}{r}\right\rfloor(δ - 1)$
与广义 Singleton 界相比，我们构造的码“几乎是 Singleton - 最优”的。
底层拟阵是 $\left\lceil\frac{n}{r + δ - 1}\right\rceil\bigoplus_{i = 1}U_{s_i - δ - 1}^{s_i}$ 的截断。我们直接将其截断表示为一个 $n×k$ 矩阵，具体构造步骤如下：
1. 将列 $[n]$ 划分为大小为 $s_i$ 的局部性集合 $S_i$。
2. 对于每个 $S_i$：
- 从环境空间 $F^k$ 中均匀随机生成 $r_i = s_i - δ + 1$ 个第一列，得到一个 $r_i×k$ 矩阵