42、拟阵理论、存储码、批量码与PIR码的深入解析

拟阵理论、存储码、批量码与PIR码的深入解析

1. 拟阵理论中的重要定理

在拟阵理论中，有一个关键定理表明：
(\lim_{n \to \infty} \frac{# \text{线性拟阵在} n \text{个元素上的数量}}{# \text{拟阵在} n \text{个元素上的数量}} = 0)
证明该定理的方法是分别对表达式的分子和分母进行估计。研究显示，对于任意(\epsilon > 0)，(n)个节点上的拟阵数量至少为(\Omega(2^{(2 - \epsilon)n}))。因此，证明此定理的关键在于证明可表示拟阵的数量为(O(2^{n^3}))，这可通过对多项式的所谓零模式数量进行界定来实现。

2. 单例最优局部可修复码（LRCs）的伽莫伊德构造

为了完整性，有一个定理将某类拟阵明确表示为伽莫伊德拟阵。设(M(F_1, \ldots, F_m; \rho))是由特定条件给出的拟阵，定义(s: E \to 2^{[m]})，其中(s(x) = {i \in [m] : x \in F_i})。那么(M(F_1, \ldots, F_m, E; k; \rho))等于伽莫伊德拟阵(M(\Gamma, E, T))，其中(\Gamma = (V, D))是一个有向图，其具体构造如下：
- (V = E \cup H \cup T)，且(E)、(H)、(T)两两不相交。
- (T = [k])。
- (H)等于两两不相交集合(H_1, \ldots, H_m, H_{\geq 2})的并集，其中(\vert H_i \vert = \rho(F_i) - \vert {x \in F_i : \vert s(x)