26、索引编码、网络编码与带边信息广播

索引编码、网络编码与带边信息广播

1. 引言

带边信息广播涵盖了网络信息理论中的多个问题，如索引编码、网络编码、编码缓存和干扰对齐等。这些不同主题之间存在着等价关系和联系，该问题在卫星通信、媒体文件分发（如视频点播）、拓扑干扰对齐和分布式缓存等方面有诸多应用。

索引编码是带边信息广播问题的典型例子，它由Birk和Kol引入，是按需知情源编码的一个方面。其问题描述为：单个发送者拥有一组数据包，有m个客户端，每个客户端已拥有发送者部分数据。每个接收器向发送者请求一个数据包，请求可能各不相同。发送者的任务是利用用户的边信息，以最少的传输次数满足所有用户的需求。若仅传输未编码数据包，传输次数为用户不同请求的数量；若允许数据编码，传输次数可大幅减少。确定最小传输率是索引编码的主要问题，同时获取最优编码函数计算难度大，因此需要寻找最优传输率的边界和生成次优编码函数的算法。

2. 带边信息广播

定义带边信息广播问题的实例，主要要素如下：
- 一个发送者和m个接收器（用户）。
- 发送者持有未编码数据$X \in F_q^{n\times t}$。
- 用户i有边信息$(V(i), V(i)X)$，其中$V(i) \in F_q^{v_i\times n}$，秩为$v_i$。
- 用户i有请求矩阵$R_i \in F_q^{r_i\times n}$，秩为$r_i$。
- 用户i需要请求数据包$R_iX \in F_q^{r_i\times t}$。

发送者的任务是确保每个用户能将边信息与广播内容结合，解码出所需数据包$R_iX$。假设用户能生成$V(i)$行的所有线性组合，发送者可发送$Y = E(X