28、索引编码、网络编码与带边信息广播：纠错与关联解析

索引编码、网络编码与带边信息广播：纠错与关联解析

1. 索引编码纠错问题概述

在索引编码问题中，纠错是一个重要的研究方向。当发送 $N$ 个编码数据包 $E(X)$ 时，可能会有错误数据包混入，即用户接收到的传输为 $Y = E(X) + W$，其中 $W$ 是错误矩阵。我们的目标是确定线性索引码的最短长度 $N$，使得每个接收器在 $E(X)$ 受到噪声干扰的情况下仍能恢复其所需的数据包。

1.1 汉明距离与纠错码定义

汉明距离 $d_H(Z, Z’)$ 是指两个矩阵 $Z$ 和 $Z’$ 之差 $Z - Z’$ 的非零行数，也就是汉明重量 $w_H(Z - Z’)$。

对于一个 ICCSI 问题的实例 $I$ 和正整数 $N$，若映射 $E : F_q^{n×t} \to F_q^{N×t}$ 满足：对于每个第 $i$ 个接收器，存在解码映射 $D_i : F_q^{N×t} × X(i) \to F_q^t$，使得对于所有 $X, W \in F_q^{N×t}$，当 $w_H(W) \leq \delta$ 且存在向量 $A \in X(i)$ 时，有 $D_i(E(X) + W, A) = R_i X$，则称 $E$ 是长度为 $N$ 的 $\delta$ - 纠错码，记为 $(I, \delta)$ - ECIC。若 $E(X) = LV(S)X$，其中 $L \in F_q^{N×d_S}$，则称 $L$ 表示线性 $(I, \delta)$ - ECIC $E$。

1.2 线性 $(I, \delta)$ - ECIC 的判定定理

矩阵 $L \in F_q^{N×d_S}$ 表示线性 $(I,