17、部分展开与向量空间划分：qr - 可分集合的构造与性质

部分展开与向量空间划分：qr - 可分集合的构造与性质

1. 引言

在数学研究中，qr - 可分集合的相关性质和构造是一个重要的研究方向。本文将深入探讨 qr - 可分集合的构造方法、相关不等式以及一些非存在性结果。

2. 基础不等式与初步结论

对于满足 (r + 1 \leq k \leq 2r - 1) 且 (r \geq 2) 的情况，我们有 (z \geq \begin{pmatrix}r\1\end{pmatrix}_q - 2(r - 1))，并且 (lq^k + 1 + z(q - 1) \geq lq^k + q^{r - 2}(q - 1)(r - 1))。需要证明 (lq^k + q^{r - 2}(q - 1)(r - 1) \geq lq^k + \frac{q^r}{2} + \frac{1}{2} + \frac{q^{2r - k}}{3 + 2\sqrt{2}} \geq lq^k + \frac{q^r}{2} + \frac{1}{2} + \frac{q^{r - 1}}{3 + 2\sqrt{2}})，即 (q^r \geq 1 + \frac{2q^{r - 1}}{3 + 2\sqrt{2}} + 4(q - 1)(r - 1))。除了 ((2, 2))、((2, 3)) 和 ((3, 2)) 这几种情况外，后面的不等式对所有的 ((r, q)) 对都成立。在这些特殊情况下，可以直接验证 (lq^k + 1 + z(q - 1)) 并不严格小于定理 4 中的上界，实际上，两个边界是重合的。

推论 6 的第一部分可以写成 (\sigma \geq \frac{q^{r - 1}}{2} - \frac{q^{2r