14、子空间码的几何特性与非线性最大秩距离码

子空间码的几何特性与非线性最大秩距离码

1. 射影空间 PG(4, q) 中的最优混合维子空间码

通过几何论证可知，$A_q(5, 3) = 2(q^3 + 1)$。这里，一个 $(5, 2(q^3 + 1), 3)$ - 码由向量空间 $V(5, q)$ 的子空间构成，等价于射影空间 $PG(4, q)$ 的子空间。

为了从几何角度理解哪些子空间可能包含在混合维 $(5, M, 3)$ - 子空间码中，我们来分析该码的码字相交情况。向量空间 $V(5, q)$ 有四种类型的子空间：向量线、向量平面、三维子空间和四维子空间。

子空间距离公式 $d(U, U’) = dim(U + U’) - dim(U ∩ U’)$ 表明，最小距离为 3 的 $(5, M, 3)$ - 子空间码具有以下特性：
1. 不能包含两条向量线，也不能包含两个四维子空间。
2. 码中的两条向量平面应仅在零向量处相交。
3. 码中的两个三维子空间应仅在一条向量线处相交。
4. 码中的向量线不能包含在码中的向量平面或三维向量空间中；码中的向量平面不能包含在码中的三维子空间或四维子空间中；码中的三维子空间不能包含在码中的四维子空间中。

将这些条件转换到射影空间 $PG(4, q)$ 的几何环境中，条件 (2) 意味着码中的两条射影线相互斜交。因此，$(5, 2(q^3 + 1), 3)$ - 码中的射影线构成了 $PG(4, q)$ 的一个部分线展开。

根据定理 2，$PG(4, q)$ 的最大部分线展开的大小为 $q^3 + 1$。所以，如果 $C$ 是一个最优的 $(5, 3)_q$ 子空间码，那么 $C$ 最多包含 $q^3