13、子空间码的几何方面研究

子空间码的几何方面研究

1. 子空间码的基本理论

1.1 Johnson界

对于((n, M, d, k)) - 码，其最大规模(A_q(n, d, k))满足以下上界：
- 定理 4（Johnson 界） ：
[A_q(n, d, k) \leq \frac{\binom{n}{t - 1}_q}{\binom{k}{t - 1}_q}A_q(n - k + d/2, d, d/2)]
其中(t = k - d/2 + 1)，(A_q(n - k + d/2, d, d/2))是(PG(n - k + d/2 - 1, q))中部分((d/2 - 1)) - 扩张的最大规模。
- 推论 1 ：当(n - k + d/2 \equiv 0 \pmod{d/2})时，((n, M, d, k)) - 码的最大规模(A_q(n, d, k))满足上界：
[A_q(n, d, k) \leq \frac{\binom{n}{t}_q}{\binom{k}{t}_q}]

目前的主要问题是是否存在达到 Johnson 界的恒定维度码。当(d = 2k)时，这就是经典的部分扩张问题，体现了子空间码理论与伽罗瓦几何理论之间的紧密联系。

1.2 最大秩距离码构造子空间码

1.2.1 最大秩距离码基础

秩距离码由 Delsarte 引入，适用于网络拓扑和底层网络码已知的纠错情况（相干情况）。在有限域(F_q)上的(m \times n)矩阵集合(M_{m\times n}(q))，关于秩距离(d_r(A