12、多轮网络编码与子空间码的几何视角

多轮网络编码与子空间码的几何视角

1. 多轮网络编码基础

多轮网络编码在网络传输中具有重要作用。有这样一个关键不等式：
[d_T^{GR}(C) > n(T + 1) - \text{rank}(A[0,T])]

证明思路

设 (x[0,T] = v[0,T]A[0,T])，由于代码的线性性质，只需证明所有输出通道序列可与零序列区分，即证明当 (\text{rank}(A[0,T])) 满足上述不等式时，(v[0,T]A[0,T] = 0) 不可能成立。
- 易知 (\text{rank}(v[0,T]) \leq n(T + 1) - \text{rank}(A[0,T]))。
- 结合假设不等式，可得 (\text{rank}(v[0,T]) < d_T^{GR}(C))，根据 (d_T^{GR}(C)) 的定义，这是不可能的。

2. 级联码

级联码是构造多轮码的另一种选择。在汉明环境中，常用的级联码是由内卷积码与外块码（通常是里德 - 所罗门码）级联而成。维特比解码器可纠正大部分错误来清理信道，但偶尔会输出突发错误，由里德 - 所罗门码处理。然而，在网络编码环境中，关于秩度量卷积码的解码了解较少。

特殊级联码方案

这里介绍一种由汉明度量外卷积码和秩度量内块码级联得到的级联码。
- 选择该方案的原因 ：
- 卷积码在处理擦除时效率很高。研究表明，利用卷积码中选择不同滑动窗口的灵活性，可恢复相同速率的 MDS 块码无法解码的擦除模式。
- 秩度量码有现有的高效解码算法。这种级联方