9、子空间码与旗标的深入探讨

子空间码与旗标的深入探讨

1. 子空间运算与码的基本概念

1.1 子空间维度计算

通过高斯消元法，可将矩阵 $\begin{pmatrix} I_k & B \ I_k & A \end{pmatrix}$ 化简为 $\begin{pmatrix} I_k & B \ 0 & A - B \end{pmatrix}$。由于 $\dim(U + W)$ 是该矩阵的秩，所以 $\dim(U + W) = k + rk(A - B)$。再结合公式 $\dim(U + W) = \dim(U) + \dim(W) - \dim(U \cap W)$，就能计算出 $\dim(U \cap W)$，最终得到 $d(U, W) = 2dr(A, B)$。

一般情况下，若已知两个向量空间 $U$ 和 $W$ 的矩阵（行最简形矩阵或标识向量与矩阵），可通过高斯消元法高效计算 $U + W$ 的表示，使用扎森豪斯算法可得到 $U \cap W$ 的表示。

1.2 子空间码的定义与分类

• 子空间码 ：子集 $C \subseteq P(F_q^m)$ 被称为子空间码，其最小距离定义为 $d_{min}(C) := \min{d(U, W) | U \neq W \in C}$，称 $C$ 为 $(m, \log_q(|C|), d_{min})$ 子空间码。
• 常维码 ：若 $C$ 中每个空间的维度相同，则称 $C$ 为常维码。
• 单胞码 ：若 $C$ 中每个空间的标识向