POJ 1222 EXTENDED LIGHTS OUT 高斯消元

解决5x6矩阵状态转换问题：高斯消元法与枚举

最新推荐文章于 2019-12-09 19:29:44 发布

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分类专栏： ACM-数学文章标签： matrix 存储

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本文探讨了一种使用高斯消元法和枚举策略解决特定5x6矩阵状态转换问题的方法。通过分析矩阵中元素状态的变化规则，提出了一种高效的算法解决方案，并提供了相应的代码实现。重点在于如何通过有限次的操作使矩阵所有元素状态变为0。

http://poj.org/problem?id=1222

题意：给定一个5*6的0-1矩阵，每个元素有一个值，是0或是1。press没个点的时候，其周围的4个点和中间的那个点的状态都将发生变化，即0->1 , 1->0。在保证有解的情况下求一种press ，使得所有的元素的状态都是0。

思路：5*6的矩阵，一共30个元素，其实这题只要枚举第一行的press状态，接着往下推，就可以得出结果了。这样的复杂度只是O(2^6*4*6)。这题讲下高斯消元的做法，由题意可以知道，每个点最多press一次，press两次就相当于不press，因此每个点要么不press ，要么press。我们用一个ans[30]来存储结果。现在来分析为了使得一个点(i,j)达到0 状态，则:

ans[6*i+j] + ans[6*(i-1)+j] + ans[6*(i+1)+j] + ans[6*i+j-1] + ans[6*i+j+1] = state[6*i+j] （mod 2）；这样就可以对每个结点列一个方程，得出30个方程，求解出30个未知量，就是最后的答案。高斯消元的复杂度为：O(n^3)

代码：

/*
高斯消元 
matrix{0} = mm * ans ;
*/
#include<stdio.h> 
#include<string.h>
int T ,N ;
int ans[33];
int index[33][33] ;
int mm[33][33] ;
int dr[4] = {-1, 1 ,0, 0} ;
int dc[4] = {0,0,-1,1} ;

void Init(){
	for(int i=1;i<=5;i++){
		for(int j=1;j<=6;j++){
			int a = index[i][j] ;
			mm[a][a] = 1 ;
			for(int k=0;k<4;k++){
				int nr = i + dr[k] ;
				int nc = j + dc[k] ;
				if(nr<1 || nr>5 || nc<1 || nc>6)	continue ;
				int b = index[nr][nc] ;
				mm[a][b]  = 1 ;	
			}
		}
	}	
}

void solve(){
	int i , j ,row, col ;
	row = 1 ; 
	for( ;row<=30;row++){
		for(i=row ;i<=30;i++){
			if(mm[i][row] !=0 ) break ;
		}
		if(i == 31)	continue ;
		for(j=row;j<=31;j++){
			int temp = mm[row][j] ;
			mm[row][j] = mm[i][j] ;
			mm[i][j] = temp ;	
		}	
		int a = mm[row][row] ;
		for(i=row+1;i<=30;i++){
			int b = mm[i][row] ;	
			if(b == 0)	continue ;
			for(int k=row;k<=31;k++){
				mm[i][k] = ( mm[i][k] * b - mm[row][k] * a + 2) % 2 ; 
			}
		}
	}	
	row = 29 ; 
	ans[30] = mm[30][31] / mm[30][30] ;
	for( ;row>=1;row--){
		int sum = 0 ;
		for(int k=row+1;k<=30;k++){
			sum += ( mm[row][k]*ans[k]);
		}	
		sum = ( mm[row][31] - sum ) / mm[row][row]; 
		while(sum < 0)	sum += 2 ;
		ans[row] = sum % 2 ;
	}	
	for(int i=1;i<=30;i++){
		if( (i-1)%6==5){
			printf("%d\n",ans[i]);
		}
		else{
			printf("%d ",ans[i]);
		}
	}
}
int main(){
	int a ;
	scanf("%d ",&T);
	N = 31 ;
	int f = 1 ;
	while(T--){
		memset(mm , 0 ,sizeof(mm) );
		for(int i=1;i<=5;i++){
			for(int j=1;j<=6;j++){
				scanf("%d",&a);
				index[i][j] = 6*(i-1) + j ;
				mm[ index[i][j] ][N] =  a ; 				
			}
		}
		printf("PUZZLE #%d\n",f++);
		Init() ;
		solve(); 
	}		
	return 0 ;
}