两个对称正定阵的乘积是正定的吗？

矩阵乘法与正定性

最新推荐文章于 2024-06-11 16:37:59 发布

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#对称正定 #乘积

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本文通过一个具体的数学例子，展示了两个正定矩阵相乘后的矩阵可能不再是正定矩阵的特性，揭示了矩阵乘法在保持正定性质上的局限性，并提供了用于寻找类似反例的MATLAB代码。

反例：

A 是对称正定阵

B 是对称正定阵

AB =

    26   -24
   -60    56


S = (AB+BA)/2

    26   -42
   -42    56

eigS =

   -3.5982
   85.5982

可见 AB 的对称部分不是正定的，因而 AB 不是正定的。

寻找类似以上反例的 matlab 代码如下：

n = 2;
for i = 1:100000
    P = randi([-3 3],n);
    Q = randi([-3 3],n);
    A = P'*P
    eigA = eig(A)
    B = Q'*Q
    eigB = eig(B)
    AB = A*B
    S = (A*B+B*A)/2
    e = eig(S)
    if sum(e<-1e-6)>0
        fprintf('found\n')
        break
    end
end