线性变换的值域和核是正交的吗？

如果 A 是 n 维线性空间的一个线性变换，那么有：$$A的秩+A的零度=n$$也就是$$dimAV+dim{A}^{-1}(0)=dimV=n\text{\hspace{1em}(1)}$$

看上去它们互补，但是看一个例子：

在线性空间 $P[x{]}_n$中，令$$Df(x)=f^{\prime }(x),$$那么D的值域为子空间$P[x{]}_{n-1}$,维数为n-1；核为子空间$P$，维数为1。很明显，$$N(D)\subseteq R(D)。$$

有趣的是，A的核与$A^T$的值域构成了全空间的直和分解：$${\mathbb{R}}^n=R(A^T)+N(A)$$下面来证明：

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首先，$R(A^T)$和$N(A)$都是${\mathbb{R}}^n$的子空间，且满足维数公式：$$dim{A}^{T}V+dim{A}^{-1}(0)=dimV=n$$这是因为A和行秩等于列秩，由(1)式直接得出。

其次，$R(A^T)$和$N(A)$的交集只有零元素：
if    x∈{x∣x=ATz,∃z∈Rn}=R(AT),andx∈{x∣Ax=0}=N(A),if \;\;x \in \{x|x=A^Tz,\exist z\in\R^n\}=R(A^T), \\and\\ x\in\{x|Ax=0\}=N(A), ifx∈{x∣x=ATz,∃z∈Rn}=R(AT),andx∈{x∣Ax=0}=N(A),$$\begin{gathered} \Rightarrow x^{T}x=z^{T}Ax=0 \\ \Rightarrow x=0 \end{gathered}$$

最后,任意$R(A^T)$的向量和$N(A)$中的向量正交：∀x∈{x∣x=ATz,∃z∈Rn}=R(AT),\forall x \in \{x|x=A^Tz,\exist z\in\R^n\}=R(A^T), ∀x∈{x∣x=ATz,∃z∈Rn}=R(AT),∀y∈{y∣Ay=0}=N(A),\forall y\in\{y|Ay=0\}=N(A), ∀y∈{y∣Ay=0}=N(A),$$\Rightarrow x^{T}y=z^{T}Ay=0$$
证毕。