松弛法求解给定边界条件的泊松方程

最新推荐文章于 2025-09-19 20:33:16 发布

原创最新推荐文章于 2025-09-19 20:33:16 发布 · 3.6k 阅读

13 ·

CC 4.0 BY-SA版权

我们不生产知识，我们只是互联网的搬运工

文章标签：

#泊松方程 #松弛法

本文针对一块4cmx3cm的板，在给定边界条件下，采用SOR松弛法计算其稳定的温度场。通过改变松弛因子和网格尺度，研究了收敛速度及最佳松弛因子的变化规律。

一、问题描述

一块 4cm x 3cm 的板，表面的散热忽略不计，四边温度给定，除一条长边温度为 100◦C 外，其他三条边的温度为 20◦C。计算其稳定的温度场。

采用迭代法计算时，注意采用不同的松弛因子，并比较收敛速度，观察在不同的网格尺度下，最佳松弛因子的变化。
在这里插入图片描述

二、解题思路

本题为给定边界条件的泊松方程的求解问题。
在这里插入图片描述
采用 SOR 松弛法：

其中
$\beta = \frac{\Delta x}{\Delta y}$

用 matlab 编写函数
$\quad n = SOR(w)$
其中参数 w 为松弛因子，返回值 n 为收敛所需要的迭代次数。判断收敛的条件为

$\sum_{i,j} (T_{i,j}^{n+1} - T_{i,j}^n)^2 < \epsilon$

function n = SOR(w)
xl = 1;
yl = 1;
n = 30;
hx = xl/n;
hy = yl/n;

T = zeros(n);
f = zeros(n);

T(:,1)=20;
T(:,end)=20;
T(1,:)=20;
T(end,:) = 100;

e = 1;
while(e >0.0001)
    n = n+1;
    T1 = sor(T,f,w,hx,hy,1);
    e = sum((T1(:)-T(:)).^2);
    T = T1;
end
contour(T,100);


function T = sor(T,f,w,dx,dy,N)
b = dx/dy;
B2 = b*b;
DX2 = dx*dx;
C = w/(2*(1+B2));
for t = 1:N
    for i =2:size(T,1)-1
        for j = 2:size(T,1)-1
        T(i,j) = (1-w)*T(i,j) + C*(T(i+1,j)+T(i-1,j) + ...
            B2*(T(i,j+1)+T(i,j-1))+DX2*f(i,j));
        end
    end
end